Warning, new definition for trace

[>u:=arctan(y/x): g:=simplify(grad(u, [x, y]));

[> alpha:=simplify(angle(g, [1, 0]));

[> beta:=simplify(angle(g, [0, 1]));

Косинусы полученных углов являются направляющими косинусами . Легко убедиться, что сумма их квадратов равна единице.

[> simplify(cos(alpha)^2+cos(beta)^2);

Производная функции u по направлению q равна скалярному произведению градиента этой функции на нормированный вектор q: , где - нормированный вектор q.

[> q:=vector([1,1]);e:=normalize(q);

q:=[1, 1]

е:=

[> udq:=simplify(dotprod(g,e));

udq:=

Пример.

Дана вектор-функция F(x,y,z)= . Найти и .

[> F:=vector([x^2*y*z, x*y^2*z, x*y*z^2]);

[> divF:=diverge(F, [x, y, z]);

divF:=6xyz

[> rotF:=curl(F, [x, y, z]);

Пример.

При каком значении параметра а функция u = x ³+ axy ² удовлетворяет уравнению Лапласа Du=0?

[> u:=x^3+a*x*y^2:

[> Delta(u):=laplacian(u, [x,y]);

D(x³+axy²):=6x+2ax

[> a=solve(%=0,a);

a=-3

Пример.

Доказать, что функция , где удовлетворяет дифференциальному уравнению , k - постоянная.

[> u:=(exp(-k*r)+exp(k*r))/r:

[> Delta(u):=simplify(laplacian(u, [r, theta, phi], coords=spherical));

[> simplify(%-k^2*u);

Пример.

Найти матрицу Якоби и ее определитель вектор-функция v=[x, y/x].