Вычислительная техника вавилонян

К достоинствам вавилонской позиционной системы относятся принцип позиционности и характер основания системы – числа 60, которое имеет достаточно большое количество целых делителей. В то же время число 60 велико и приводит к существенным затруднениям при умножении и делении.

Все арифметические операции формулировались словесно, и для каждого действия имелись свои специальные термины, причем не по одному.

Сложение. Два термина: «складывать» и «прибавлять». Термин «складывать» употреблялся для двух равноправных величин, таких, как длина и ширина прямоугольника; «прибавлять» - использовался для двух величин, одна из которых играла роль основной, а другая подчиненной. Например, если известна разность между длиной и шириной прямоугольника и его ширина, то для нахождения длины прямоугольника к его ширине прибавляют известную разность. В дальнейшем мы будем использовать термин gar (га) - «складывать». При сложении числа между разрядами 1, 60, 60², … складывались приписыванием, а затем осуществлялся переход от разрядов к разрядам с учетом того, что десять единиц дают один десяток.

Вычитание: «превышать», «недоставать» и «отнимать». Мы исползуем термин lal «недоставать», как отрицание для «складывать». Термин «недоставать» или «минус» имел спец. символ. Он часто использовался и для записи чисел, оканчивающихся на 7, 8 и 9. Например, число 19 записывалось двумя способами:

=10 + 9 или = 20-1

Для операции умножения на 2 использовался термин tab (таб). Он также исполнял роль противостояния термину lal «минус». Позднее, в астрономических текстах значки «лал» и «таб» использовались как наши «-» и «+» для обозначения отрицательных и положительных чисел. Они ставились после числа. Приведем таблицу чисел из астрономического текста.

Если построить точки с равномерным интервалом по оси абсцисс и соединить их плавной линией, то эта линия будет иметь волновой вид;в да далекие времена она могла служить для описания периодических процессов.

Умножение: «умножить», «увеличить», «кушать». Наиболее компактная таблица умножения в десятичной системе (без умножения на 1 и с учетом коммутативности) имеет вид:

Она содержит 36 произведений (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 =

Аналогичная таблица в шестидесятеричной системе имела бы 1711 произведений. Такую таблицу запомнить невозможно, поэтому вавилоняне составляли неполные (или отдельные) таблицы умножения. Одно и то же число (заглавное) последовательно умножалось на 1,2, …, 18, 19, 20, 30, 40, 50. Заглавное число (множимое) указывалось один раз в первой строке, а в остальных отмечался только множитель. При этом клинописный знак , который читается a – ra (ара) и соответствует в русском языке частицам «жды» или «ю», устойчиво записывался в каждой строке. Приведем фрагмент таблицы умножения на 7.

По аналогии с современной школьной таблицей умножения можно было ожидать, что в состав заглавных чисел войдут все целые числа от 1 до 59. Однако это не так. Все заглавные числа, за исключением 7, являются так называемыми правильными числами: , где При этом правильных чисел 27, 32 и 54 не обнаружено, но есть некоторые двузначные числа и одно трехзначное число: 44,26,40₆₀.

Деление: «разбить», «разломать», «часть», «дробь» и т.д. Вавилоняне частное воспринимали как число, которое должно быть умножено на делитель, чтобы получить делимое. Для нахождения частного надо: пусть надо разделить a на b. Вав. находили число и умножали a на . Значение b находилось из специально составленных таблиц обратных значений.

Левый столбец содержит все правильные числа n в интервале от 1 до 1,21₆₀, т.е. от 1 до 81, а правый – числа , такие, что . Первая строка означает 1/2 = 0;30, вторая строка - 1/3 = 0;20, третья строка - 1/4 = 0;15 и т.д. В шестой строке запись 8 - 7,30 (обратное 8 есть 7,30) нужно понимать так: = 7/60 + 30/60² = 1/8. В последней строке читаем: обратное 1,21 есть 44,26,40. Это означает следующее: 1/81 = 0;00,44,26,40. Итак, в данную таблицу вошли только натуральные числа вида . Именно они, имеют обратные, представимые конечной шестидесятеричной дробью. Числа, обратные пропущенным (7, 11, 13,14,17,…, 35 и др.) - бесконечными периодическими 60-ричными дробями. В некоторых таблицах есть и эти числа, но во втором столбце запись: «нет обратного». В более поздних таблицах для неправильных чисел даются приближенные значения обратных чисел. Дробь оказывается периодической, причем вавилоняне выписывали период дважды. Они должны бы придти к идее периодич. 60-ричной дроби, но указаний на это в текстах нет. Таблицы обратных значений и таблицы умножения тесно взаимосвязаны между собой. На это указывает наличие среди заглавных чисел в таблицах умножения трехзначного числа 44,26,40, которое является последней обратной величиной в таблице обратных значений. Совокупность этих таблиц составляет законченную систему, предназнач. для вычисления всех произведений или всех 60-ричных делений a/b в пределах таблицы обратных величин.

Впервые в истории человечества вавилоняне использовали позиционную 60-ричную систему счисления. До сих пор мы пользуемся элементами этой системы, деля час на 60 минут, минуту – на 60 секунд, секунду – на 60 терций, окружность – на 360⁰. Вавилоняне владели высоким вычислительным искусством. Только одна система таблиц умножения и обратных величин ставит их впереди всех вычислителей античного мира.

Поиск по сайту: