Построение правильного пятиугольника в «Началах» Евклида

Предложение 11. Данную прямую рассечь так, чтобы прямоугольник, заключённый между целой и одним из отрезков был равен квадрату на оставшемся отрезке.

Построение:

1. ABDM - квадрат

2. Е: АЕ = EM

3. [EB]

4. I: IÎ[MA], EI = EB

5. C: CÎ[AB), AC = AI

C – золотое сечение. АС² = АВ×ВС

Предложение 2. В данный круг вписать треугольник, равноугольный данному треугольнику.

Построение:

1. А – произвольная точка

2. HG: HG – касат., АÎHG

3. ÐCAG = ÐDEI

ÐBAH = ÐDIE

4. [BC]

5. DABH – искомый.

Построение золотого треугольника – равнобедренный треугольник, углы при основании которого в 2 раза больше угла при вершине.

Построение:

1. [AB]

2. C: CÎ[AB], C – золотое сечение.

АС² = АВ×ВС

3. S: S(A, AB)

4. [BD], D Ì S, AC = BD

5. [AD]

DABD – золотой.

Док-во:

Доп. Построения:

1). [CD], 2). S₁: S₁(A, CD)

1). АС² = АВ×ВС и AC = BD (по построению) => AB×BC = BD² => BD – касательная. (по теореме обратной предложению: если ВА – секущая, BD – касательная, то AB×BC = BD²).

2). ÐBDC = a, ÐCDA = b

ÐDCB – внешний для DACD => ÐDCB = Ða + Ðb

Т.к. DAВD равнобедренный, то ÐAВD = ÐADB = a + b

Следовательно, DСВD – равнобедренный, СD = BD.

3). Имеем СD = BD и BD = АС => AC = CD => DACD – равнобедренный => Ða=Ðb

4). Имеем в DAВD: ÐA = a, ÐB =ÐD =2a => DAВD – золотой.

Построение правильного пятиугольника.

1. DАВС ¥ DHGI

2. AE и CD – биссектриса Ð А и ÐС

3. ADBEC – правильный пятиугольник.

Док-во:

1. AB = BC, ÐA=ÐC=2a, ÐB = a

2. AE и CD – биссектриса Ð А и ÐС.

Дуги равны, т.к. опираются на равные углы => ADBEC – равносторонний

3. Любой из углов опирается на дугу, состоящую из 3-х равных дуг => пятиугольник правильный.

30 Числоp. (Древний Китай) Особенностью китайской геометрии является стремление вычислить как можно более точно отношение длины окружности к диаметру, то есть, число p. Астроном и философ Чжан Хен (II в до н.э.) нашел, что «квадрат длины окружности относится к квадрату периметра описанного около него квадрата как 5:8 Ученый-полководец Ван-Фань получил лучшее приближение В комментариях к «Математике в 9 книгах» приводится один способ вычисления приближенного значения p, который состоит в следующем: Впишем в окружность правильный n-угольник и на его сторонах построим прямоугольники, один из сторон которых касается окружности.

Лю Хуэй (III в до н.э.) полагая

При , он находит, что

Цзу Чуы-Чжи (V в) доказал, что

Точность приближения числа p, указанная китайскими математиками, была превзойдена лишь в XV веке математиком Ал-Каши в трактате «Об окружности». Он вычислил значение числа p с 17ю верными знаками

Поиск по сайту: