Вероятность появления хотя бы одного события
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А 1, А 2, ¼, Ап, независимых в совокупности (событие А) равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий
Доказательство. Пусть А 1, А 2, ¼, Ап − независимые события, а противоположные им события, также независимые. Так как А и противоположны ( означает, что ни одно из событий А 1, А 2, ¼, Ап не наступило), то сумма их вероятностей равна 1, т. е.
откуда
Эту формулу можно записать в виде
Замечание. Если все независимые события А 1, А 2, ¼, Ап имеют одну и ту же вероятность р, то появление хотя бы одного из них определяется формулой
P (A) = 1 − qn (q = 1 − p).
Пример 1. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий соответственно равны р 1 = 0.8, р 2 = 0.7, р 3 = 0.9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение. Пусть А 1, А 2, А 3 − попадание из 1, 2, 3 орудий соответственно независимых в совокупности. Вероятности промахов равны:
q 1 = 1 − p 1 = 0.2; q 2 = 1 − 0.7 = 0.3; q 3 = 1 − 0.9 = 0.1.
Искомая вероятность равна
Пример 2. В типографии имеется 4 станка. Для каждого вероятность того, что он работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы один станок (событие А).
Решение. Вероятность того, что в данный момент станок не работает, равна q = 1 − p = 0,1. Тогда
P (A) = 1 − q 4 = 1 − (0,1)4 = 0,9999.
Так как Р (А) близка к 1, то можно заключить, что в данный момент работает хотя бы один станок.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | Поиск по сайту:
|