Элементарные события

Классическое определение вероятности. Пространство событий,

Первым основным понятием теории вероятности является понятие события.

Определение 1. Опытом, испытанием или экспериментом называют совокупность условий и действий, при которых может наблюдаться соответствующее явление.

Пример. Стрельба по мишени; бросание монеты; и т. д.

Определение 2. Событием называется возможный результат опыта.

Пример. Попадание и промах; орел и решка (аверс и реверс); 1, 2, 3, 4, и т. д.

Определение 3. Событие называется случайным, если в результате испытания оно может произойти или не произойти. События обозначаются большими буквами А, В, С, D, ¼

Определение 4. Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно произойдет. Обозначается как U.

Пример. При бросании игральной кости выпадает число от 1 до 6.

Определение 5. Событие называется невозможным, если в результате испытания оно не может произойти. Обозначается как Æ.

Пример. При бросании монета повисла в воздухе, упала на ребро на зеркальном полу.

Определение 6. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример. Орел, решка.

Определение 7. Несколько событий называются несовместными, если они попарно-несовместимые.

Определение 8. События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Определение 9. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате испытания появляется хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Определение 10. События называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в данном испытании.

Определение 11. События, которые в данном испытании обладают следующими свойствами:

1. они образуют полную группу;

2. несовместны;

3. равновозможные

называются элементарными событиями или исходами.

Определение 12. Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называется благоприятствующим данному событию. Обозначают как v₁, v₂, v₃, ¼

Пример. В урне находится 2 белых и 3 черных шара. Из урны наугад вынимается один ша. Дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар будет белым.

Решение. Введем обозначения:

Событие А − появление белого шара.

Элементарные исходы:

v₁, v₂ − появление белого шара,

v₃, v₄, v₅ − появление черного шара.

Событию А благоприятствуют два исхода: v₁, v₂, т. е. событие А произойдет, если наступит v₁ или v₂.

В этом смысле событие А подразделяется на два элементарных исхода. Элементарный исход не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием и элементарным исходом.

Очевидно, что число равное отношению всех благоприятствующих исходов к их общему числу и дает ту количественную оценку степени возможности появления белого шара, т. е. .

Вторым основным понятием теории вероятностей является событие.

Определение 13 (Классическое определение вероятности). Вероятность события есть число, характеризующее степень возможности появления этого события. Обозначается как Р (А).

Оно равно отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к их общему числу.

где т − число исходов, благоприятствующих событию А,

п − число всех элементарных исходов испытания.

Свойства вероятности:

1) Р (U) = 1;

2) P (Æ) = 0;

3) Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1:

0 < P (A) < 1.

Следствие. Вероятность любого события удовлетворяет неравенствам

0 ≤ P (A) ≤ 1.

Пример. В урне 5 шаров пронумерованных цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Шары тщательно перемешаны. Наугад вынимается один шар, запоминается его номер и вновь возвращается в урну. После тщательного повторного перемешивания из урны вновь вынимается один шар. Определить вероятность того, что сумма очков на двух вынутых шарах будет равна 6.

Решение. Для решения задачи необходимо определить п − количество всех элементарных исходов, образующих полную группу и т − количество равновозможных исходов, благоприятствующих событию А (А − сумма очков на двух вынутых шарах, равная 6).

Возможны следующие комбинации:

п = 25 комбинаций единственно возможных, равновозможных исходов, образующих полную группу.

Появлению события А благоприятствуют т = 5 элементарных исходов. Тогда

Поиск по сайту: