АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

ДР-1. Элементарные методы построения графиков, точки разрыва, пределы

Читайте также:
  1. B) должен хорошо знать только физико-химические методы анализа
  2. I. Естественные методы
  3. I. Лексика русского языка с точки зрения ее происхождения
  4. II. Лексика русского языка с точки зрения ее активного и пассивного запаса.
  5. II. Общие принципы построения и функционирования современных бизнес-структур
  6. III. Лексика русского языка с точки зрения сферы ее употребления.
  7. IV. Словарный состав современного русского литературного языка в функциональном, социолингвистическом аспектах и с точки зрения его происхождения (2 часа).
  8. V. Способы и методы обеззараживания и/или обезвреживания медицинских отходов классов Б и В
  9. V1: Методы анализа электрических цепей постоянного тока
  10. V1: Переходные процессы в линейных электрических цепях, методы анализа переходных процессов
  11. V2: МЕТОДЫ ГИСТОЛОГИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
  12. V2: Цитология и методы цитологии

 
 

(1 семестр)

ЗАДАЧА 1. Построить график ОДНОЙ функции, удовлетворяющей различным предельным соотношениям.

На +¥ (далеко направо) функция может стремиться к +¥ (график неограниченно уходит вверх), к – ¥ (график неограниченно уходит вниз) и к конечному числу (график выходит на некоторый горизонтальный уровень).

Аналогичные три варианты поведения функции возможны на – ¥ (далеко налево).

В конечной точке х0 односторонние пределы функции могут равняться –¥, +¥ и конечному числу. Все эти комбинации вариантов показаны на рисунке. При этом если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то в этой точке имеется вертикальная асимптота (разрыв 2-го рода). Если односторонние пределы конечны и различны, то в этой точке имеем разрыв 1-го рода.

ЗАДАЧА 2. Графики функций и их элементарные свойства.

Для каждой из 3-х функций следует, прежде всего, найти область определения и только затем с использованием MAPLE строить графики функции командой

> plot(f(x),x=a..b,опции);

Здесь диапазон изменения аргумента (x=a..b) должен быть продуман. Он не должен выходить за границы области определения и в то же время должен охватывать все характерные точки. Избегайте трафаретно-бездумных диапазонов типа от –10 до +10. Если функция имеет бесконечные разрывы, то следует добавить опцию y=m..n (ограничение по Y). Желательно добавить опцию черного цвета (если нет цветного принтера)

> plot(f(x),x=a..b,y=m..n,color=black);

Желательно также рассмотреть несколько вариантов диапазонов изменения переменных и выбрать из них самый выразительный. Например, при построении графика функции у=1/х диапазон х=1..3 не дает представления о функции в целом.

После построения функции следует ответить на ЧЕТЫРЕ вопроса.

1) ОГРАНИЧЕННОСТЬ. Имеет ли график функции ограничение горизонтальной прямой сверху («потолок» у=b) и ограничение горизонтальной прямой снизу («пол» у=а).Ответ должен иметь вид: «функция ограничена сверху константой у=5, снизу – неограничена».

СОВЕТ: Полезно найти , т.е. горизонтальную асимптоту, если она есть.

2) ЗНАКОПОСТОЯНСТВО. Указать, где функция положительна (её график лежит выше оси Х) и где она отрицательна (её график лежит ниже оси Х).

Ответ: f(x)>0 для xÎ(a, b), f(x)<0 для xÎ(m, n).

3) НЕПРЕРЫВНОСТЬ. Функция непрерывна на данном интервале, если её график на этом интервале можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Примечание.

Функция (см. рисунок) не является непрерывной на отрезке [0, 1]. Она непрерывна на интервале (0, 1), а в точках х=0 и х=1 она не является непрерывной (не определена в окрестности точки). В этих точках функция непрерывна справа и слева.

 

4) МОНОТОННОСТЬ. Функция возрастает, если её график идет «в гору» и убывает, если её график идет «под гору». Если функция возрастает на (2, 3) и на (3, 4), то не всегда можно объединять эти интервалы, т.е. писать, что она возрастает на (2, 3)È(3, 4). Например, функция у=1/(3–х) возрастает на каждом из этих интервалов, но не является возрастающей на их объединении.

 

ЗАДАЧА 3. Характер точек разрыва.

Графики строить при помощи MAPLE. Диапазон изменения аргумента выбирать так, чтобы в нем содержались все точки разрыва. В местах разрыва MAPLE рисует вертикальные линии. Чтобы избавиться от них задают опцию discont=true. При наличие бесконечных разрывов обязательно задавать ограничение по оси Y (опция у=a..b). Цвет выбирать черный.

После построения графиков следует написать определения точек разрыва 1-го и 2-го рода. Затем в каждой точке разрыва х0 найти односторонние пределы

>limit(f(x),x=x0,left); >limit(f(x),x=x0,right);

и сделать выводы относительно характера разрыва.

 

ЗАДАЧА 4. Данная задача заменяется на следующую: «Проиллюстрировать графически данный предел».

Решение. Строим график функции и указываем три точки – на оси Х, на оси Y и на графике функции. Эти точки снабжаем стрелочками, показывающими направление процесса.

 

Пример 1. Пример 2. .

 

 

ЗАДАЧА 5. Вычислить шесть пределов.

Вычисления проводятся ВРУЧНУЮ с указанием главных слагаемых, которые сохраняются. Использовать правило: логарифмическая бесконечность слабее степенной, а степенная – слабее показательной. И не забывать, что ln 0 = – ¥, .

Программу MAPLE применять исключительно для проверки результата.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)