Правила сложения и умножения вероятностей

Два события А и В называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого.

События А и В называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта обязательно наступает хотя бы одно из них.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными и обозначаются А и . Событие означает, что А не произошло.

Суммой А+В двух событий А и В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

Вероятность суммы двух произвольных событий А и В определяется следующей формулой:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р() (5)

Если события А и В несовместны, то формула (5) принимает вид:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (6)

Формулу (6) можно обобщить на случай суммы любого числа попарно несовместных событий:

Р(А₁ + А₂ + … + А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n)

Часто при решении задач бывает удобнее вычислить вероятность противоположного события , затем найти вероятность прямого события А по формуле:

Р(А) = 1 – Р(). (7)

События А и В называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло другое событие или нет. При зависимых событиях А и В имеет смысл говорить об условной вероятности Р_В(А) события А, при условии, что событие В уже произошло. При независимых событиях условная вероятность равна обычной вероятности: Р_В(А) = Р(А). Вероятность произведения событий А и В выражается следующей формулой:

Р(АВ) = Р(А)Р_А(В) или Р(АВ) = Р(В)Р_В(А). (8)

Если события А и В независимы, то формула (8) принимает вид:

Р(АВ) = Р(А)Р(В). (9)

Формулу (9) можно обобщить на случай произведения любого числа независимых событий:

Р(А₁А₂…А_n) = .

Разберем решение нескольких задач.

3.1 Задача. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка – 0,8, а для второго – 0,6. стрелки независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?

Решение. Введем обозначения: событие А – попадание хотя бы одного из стрелков, событие В₁ – попадание первого стрелка, событие В₂ – попадание второго стрелка.

Первый способ. Очевидно, А = В₁ + В₂, причем события В₁ и В₂ совместны. Следовательно, по формуле (5)

Р(А) = Р(В₁) + Р(В₂) – Р().

Так как события В₁ и В₂ независимы, то

Р(А) = Р(В₁) + Р(В₂) - = 0,8+0,6- = 0,92

Второй способ. Противоположным к событию А является событие - ни один из стрелков не попал в мишень, причем . Воспользовавшись формулами (7) и (9), получим

Р(А) = 1 – Р() = 1 – Р( Р() = 1 – 0, 0,2 = 0,92.

3.2 Задача. Монета брошена три раза. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 2 раза.

Решение. Введем обозначения: А – выпадение двух гербов при трех бросаниях; В_i – выпадение герба при i-том бросании (I = 1, 2, 3). Тогда А = В₁В₂ + В₁ В₃ + В₂В₃. Так как слагаемые правой части этого равенства попарно несовместны, то по формуле (6)

Р(А) = Р(В₁В₂ ) + Р(В₁ В₃) +Р( В₂В₃).

Учитывая независимость событий В₁, В₂, В₃ по формуле (9) получим:

Р(А) = Р(В₁)Р(В₂)Р() + Р(В₁)Р()Р(В₃) + Р()Р(В₂) Р(В₃) = .

3.3 Задача. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены – мастера спорта?

Решение. Первый способ. Пусть событие А состоит в том, что все 3 выбранные спортсмены являются мастерами спорта.

Р(А) = = .

Второй способ. Введем обозначения: В_i – i-тый выбранный спортсмен – мастер спорта. Тогда А = В₁В₂В₃ и обобщая формулу (8) на случай произведения трех зависимых событий, получим

Р(А) = = .

3.4 Задача. В урне 8 красных, 10 зеленых и 12 синих шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность того, что хотя бы два из них одного цвета?

Решение. Испытанием является вынимание трех шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 3 из 30 шаров. Их число равно

n = = = = 4060.

Введем событие А – среди вынутых шаров хотя бы два одного цвета. Здесь событие А определяется словами «хотя бы два» (этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: все три красные, все три зеленые, все три синие, 2 красных и 1 другого цвета, 2 зеленых и 1 другого цвета, 2 синих и 1 другого цвета) и прямое решение приведет к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле (7) вычислить вероятность искомого события.

Противоположное событие - все три вынутые шара разного цвета. Найдем число m элементарных событий, благоприятствующих событию . Так как нужно взять один шар из 8 красных, один – из 10 зеленых и один шар из 12 синих, то

m = = = 960

P( ) = .

P(A) = 1 – P() = 1 - .

3.5 Задача. В 3 урнах белые и черные шары: в первой – 2 белых, 3 черных, во второй – 2 белых, 2 черных, в третьей – 3 белых, 1 черный шары.

Из первой урны переложили один шар во вторую урну, затем из второй урны один шар в третью урну, и после этого из третьей урны один шар в первую урну. Найти вероятность того, что состав шаров в урнах не изменится (событие А).

Решение. Рассмотрим следующие события: В_i из i-ой урны взят белый шар, R_k из k-ой урны взят черный шар (i = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3). Очевидно

A = B₁B₂B₃ + R₁R₂R₃

Р(А) = + =

= .

Предлагаем для самостоятельного решения следующие задачи:

3.6 Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна p, а для второго – 0,7. Известно, что вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найдите p. (0,8).

3.7 Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность, купив 5 билетов, выиграть: а) по всем пяти билетам; б) ни по одному билету; в) хотя бы по одному билету? (а) 1/7⁵; б) 6⁵/7⁵; в) 1-6⁵/7⁵).

3.8 Детали проходят 3 операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02; на второй – 0,03; на третьей – 0,02. Найдите вероятность получения детали без брака после 3 операций, предполагая, что получения брака на отдельных операциях являются независимыми событиями. (p 0,93).

3.9 Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 выбирается одна, а из оставшихся вторая. Найдите вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) первый раз; б) второй раз; в) оба раза. (а) 0,6; б) 0,6; в) 0,3).

3.10 Среди облигаций займа половина выигрышных. Сколько облигаций надо взять, чтобы быть уверенным в выигрыше хотя бы на одну облигацию с вероятностью, большей 0,95? (5).

3.11 Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Найдите вероятность того, что ему придется сделать не более чем 2 неудачные попытки. (0,3).

3.12 Игра проводится до выигрыша одним из двух игроков 2 партий подряд (ничьи исключаются). Вероятность выигрыша партии каждым из игроков равна 0,5 и не зависит от исходов предыдущих партий. Найдите вероятность того, что игра окончится до 6 партии. (0,9375).

3.13 Студент успел подготовить к экзаменам 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных вопросов студент знает не менее 2? (209/230).

3.14 Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все эти вопросы, используя: а) понятие условной вероятности; б) классическое определение вероятности. ( 0,496).

3.15 Разыскивая специальную книгу, студент решил обойти 3 библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно есть в её фондах книга или нет. И если книга есть, то одинаково вероятно занята она другим читателем или нет. Что вероятнее: достанет студент книгу или нет, если известно, что библиотеки комплектуются независимо одна от другой?

3.16 Стрелок А поражает мишень при некоторых условиях стрельбы с вероятностью p₁ = 0,6, стрелок В – с вероятностью p₂ = 0,5 и стрелок С – с вероятностью p₃ = 0,4. Стрелки дали залп по мишени и две пули попали в цель. Что вероятнее: попал С в мишень или нет?

3.17 Известно, что вероятность двум близнецам быть одного пола 0,64, причем вообще вероятность рождения мальчика 0,51. Найти вероятность того, что второй из близнецов мальчик, при условии, что первый из них мальчик. (11/17).

3.18 Вероятность того, что письмо находится в письменном столе, равна p, причем с равной вероятностью оно может быть в любом из восьми ящиков стола. Мы просмотрели 7 ящиков и письма не нашли. Какова вероятность, что письмо в восьмом ящике. (p / (8 – 7p)).

3.19 Один школьник, желая подшутить над своими одноклассниками, собрал в классе все портфели, а потом расставил их в случайном порядке. Какова вероятность, что хотя один портфель попал на прежнее место, если в классе было n мест и n портфелей. ().

3.20 Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос. (28/29).

3.21 Два спортсмена стреляют по мишени, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого спортсмена вероятность попадания в цель 0,7, для второго – 0,8. Какова вероятность хотя бы одного попадания в мишень? Как изменится результат, если спортсмены сделают по два выстрела? (0,94; 0,9964).

3.22 Ящик содержит 90 годных и 10 бракованных деталей. Сборщик последовательно без возвращения достает из ящика 10 деталей. Найдите вероятность того, что среди взятых деталей: а) нет бракованных; б) хотя бы одна бракованная. (а) 0,33; б) 0,67).

3.23 Охотник выстрелил 3 раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найдите вероятность того, что он: а) промахнется все 3 раза; б) попадет хотя бы один раз; в) попадет 2 раза. (а) 0,024; б) 0,976; в) 0,452).

3.24 В 2 урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета? (0,323).

Поиск по сайту: