Формула Бернулли

Рассмотрим последовательность n независимых опытов, в каждом из которых некоторое событие А может наступить с одной и той же вероятностью р = Р(А).

Пусть для заданного целого числа k () P_n(k) обозначает вероятность того, что в n опытах событие А наступит ровно k раз. Имеет место формула Бернулли:

P_n(k) = , где q = 1 – p (12)

Рассмотрим решение задач на данную тему:

5.1 Задача. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8 и не зависит от номера выстрела. Требуется найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

Решение. В этой задаче n = 5, p = 0,8 и k = 2; по формуле Бернулли находим:

Р₅(2) =

Число успехов k₀, которому при заданном n соответствует максимальная биноминальная вероятность P_n(k₀) называется наиболее вероятным числом успехов.

Наиболее вероятное число успехов k₀ по заданным n и p найдем из двойного неравенства

, (13)

причем, а) если число np + p – не целое, то k₀ равно целой части этого числа, б) если число np + p – целое, то k₀ имеет два значения и .

5.2 Задача. Найти наиболее вероятное число выпадений герба при 25 бросаниях монеты.

Решение. В этой задаче n= 25, p = 0,5, q = 0,5. np-q = , np+p = . Таким образом, , поэтому k = 12 и k = 13. Решите самостоятельно:

5.3 По данным технического контроля 2% изготовленных автоматических станков нуждаются в дополнительной регулировке. Найдите вероятность того, что из 6 изготовленных станков 4 нуждаются в дополнительной регулировке. (0,0000023).

5.4 Найдите наиболее вероятное число выпадений шестерки при 46 бросаниях игральной кости. (7).

5.5 Контрольное задание состоит из 10 вопросов, предусматривающих ответы «да» и «нет». Найдите наиболее вероятное число правильных ответов которое даст учащийся, если он станет выбирать ответ по каждому вопросу наудачу. Найдите вероятность наиболее вероятного числа ответов. (5; 63/256).

5.6 Вероятность изготовления стандартной детали 0,95. Сколько деталей должно быть в партии, чтобы наивероятное число нестандартных деталей в ней равнялось 55? ().

5.7 На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. Найдите вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 автомашин. (0,9017).

5.8 Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го размера, равна 0,2. Найдите вероятность того, что из 5 первых покупателей обувь этого размера понадобится: а) одному; б) по крайней мере одному. (а) 0,4096; б) 0,6723).

5.9 Вероятность того, что денежный приемник автомата при опускании одной монеты сработает правильно, равна 0,97. Сколько нужно опустить монет, чтобы наиболее вероятное число случаев правильной работы автомата было равно 100? (103).

5.10 Контрольное задание состоит из 5 вопросов, на каждый из которых дается 4 варианта ответов, причем только один из них правильный. Найдите вероятность того, что учащийся, не знающий ни одного вопроса, даст: а) 3 правильных ответа; б) не менее 3 правильных ответов (предполагается что учащийся выбирает ответы наудачу). (а) 0,176; б) 0,203).

5.11 Рабочий обслуживает 12 станков одного типа. Вероятность того, что станок потребует внимания рабочего в течение часа, равна 1/3. Найдите: а) вероятность того, что в течение часа 4 станка потребуют внимания рабочего; б) наиболее вероятное число станков, которые потребуют внимания рабочего в течение часа. (а) 0,238; б) 4).

5.12 Проведено 5 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании 2 монет. Найдите вероятность того, что в 3 испытаниях появилось по 2 герба. (45/512).

5.13 Испытание состоит в бросании 3 игральных костей. Найдите вероятность того, что в 5 независимых испытаниях ровно 2 раза выпадет по 3 единицы. ().

5.14 Вероятность наступления события А в каждом из 18 независимых опытов равна 0,2. Определите вероятность появления этого события хотя бы 3 раза. (0,73).

5.15 Игра состоит в набрасывании колец на колышек. Игрок получает 6 колец и бросает их до первого попадания или до полного израсходования колец. Найдите вероятность того, что хотя бы одно кольцо останется неизрасходованным, если вероятность попадания при каждом броске равна 0,1. (0,41).

5.16 Два баскетболиста делают по 3 броска мячом в корзину. Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске равны соответственно 0,6 и 0,7. Найдите вероятность того, что: а) у обоих будет равное количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет больше попаданий, чем у второго. (а) 0,321; б) 0,243).

5.17 Прибор выходит из строя, если перегорит не менее 5 ламп I типа или менее 2 ламп II типа. Определите вероятность выхода прибора из строя, если известно, что перегорело 5 ламп, а вероятности перегорания ламп I и II типов равны соответственно 0,7 и 0,3 (выход ламп из строя – независимые события). (0,64).

5.18 Из ящика, в котором 200 белых и 2 черных шара, n раз извлекают шары по одному, причем каждый раз шар возвращается. Определите наименьшее значение n, при котором вероятность достать хотя бы один раз черный шар будет больше половины. (8).

5.19 Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных? (0,1875).

5.21 Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если общее их количество равно 7. (5).

5.22 Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех? (0,73728).

5.23 Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки – 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше двух девочек. ().

5.24 Для того чтобы узнать, сколько рыб в озере, отлавливают 1000 рыб, метят их и выпускают обратно в озеро. При каком числе рыб в озере будет наибольшей вероятность встретить среди вновь пойманных 150 рыб 10 меченых? (15000).

5.25 Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно отобранных из партии коконов 3 цветных? Не более 3 цветных? ().

Поиск по сайту: