VІІІ. Теоретична база

Перш ніж розглядати методи визначення географічної широти, з’ясуємо за яких умов похибки у вимірюванні висоти Сонця найменшим чином впливають на значення широти.

З паралактичного трикутника (рис.1) за формулою косинусів, маємо:

(1)

Продиференціюємо вираз (1) та диференціали замінимо малими прирощеннями:

(2)

Використовуючи формулу п’яти елементів запишемо:

(3)

Рис. 1. Паралактичний трикутник

Підставимо (3) в (2) одержимо:

(4)

За формулою синусів запишемо:

(5)

Підставляючи (5) в (4) маємо:

;

;

(6)

З виразу (6) витікає, що похибки Δφ в визначенні широти будуть найменшими, тобто Δφ → min, якщо обидва члени правої частини рівності (6) теж прямують до мінімального значення. Це здійснюється, коли А = 0º (180º). Отже, для визначення географічної широти спостереження Сонця слід проводити поблизу меридіану.

Однак, в умовах лабораторних занять це не завжди можливо. Іноді виміри Сонця доводиться робити в моменти, які відрізняються на 1,5-3 години від моменту кульмінації. Тому у роботі пропонується два методи визначення широти. Порядок спостережень однаковий в обох випадках, а обробка результатів різна.

Визначення широти за спостереженнями Сонця поблизу меридіана. Цей метод широко використовується в практиці. Він застосований на залежності між географічною широтою φ, схиленням δ, зенітною відстанню z в момент верхньої кульмінації. Як відомо (рис. 2):

(7)

Оскільки Сонце завжди кульмінує в середніх широтах на південь від зеніту, то у формулі (7) беремо знак плюс. Отже, широту будемо визначати за формулою:

Зупинимося спочатку на формулі косинусів. Будемо вважати, що схилення Сонця є точним, оскільки ми беремо його значення Астрономічного щорічника, де воно дається з точністю, на декілька порядків вищою за точність наших спостережень. Припустимо тепер, що зенітна відстань визначена нами з деякою неточністю, тобто її виміряне значення відрізняється від дійсного на деяку поправку . Нехай це ж стосується і годинного кута. Тоді і широта повинно входити до формули (1) з поправкою , інакше рівність (1) не буде виконуватись. Отже,

; ; .

Встановимо зв'язок між поправками широти, зенітної відстані і годинного кута. Запишемо формулу (1) для величини :

Шуканий зв'язок буде знайдено, якщо від останньої рівності відняти (1). Але таке віднімання, якщо знехтувати квадратами і добутками малих величин , , , є тотожним диференціюванню рівняння (1) і заміні диференціалів малими кінцевими прирістами відповідних величин. Оскільки введені нами поправки і мають зміст малих приростів, з диференціювання (1) одержимо:

Скориставшись формулою п’яти елементів (2), замінимо вираз, що стоїть у дужках; множник в останньому члені замінимо у відповідності до формули синусів (3) на . Тоді, після скорочення на , одержимо:

Звідси маємо вираз, що визначає через та :

(4)

З (4) випливає, що для того, щоб неточність у визначенні широти була мінімальною, повинні бути малими коефіцієнти, що стоять перед і . Множник приймає найменше значення, рівне 1, при А = 0. добуток також є мінімальним (обертається в нуль) при А = 0. це означає, що похибки у вимірюванні зенітної відстані і годинного кута найменш впливають на обчислюване значення широти, якщо вимірювання висоти Сонця проводилися при малих азимутах. Інакше кажучи, вимірювання висоти Сонця з метою визначення широти належить проводити тоді, коли воно перебуває поблизу кульмінації.

Оскільки на практиці виконати цю умову не завжди можливо, у даній роботі пропонується також і інший спосіб для визначення широти, який припускає проведення спостережень у довільні моменти часу. Цей спосіб має меншу внутрішню точність, але він дозволяє знаходити широту з похибкою, що не перевищує хвилини дуги, тобто з точністю, достатньою для розв’язку навчальних задач.

Підготовка вихідних даних.

При виконанні лабораторної роботи «Визначення висоти Сонця» було одержано 8 значень висоти центру видимого диску Сонця і відповідні їм моменти громадянського часу (поясного або літнього). Ці результати є спостережу вальним матеріалом для виконання даної роботи. Безпосередньому проведенню обчислень широти має передувати підготовка вихідних даних.

Для визначення широти необхідно перейти від видимої висоти центру сонячного диску до його дійсної висоти. Цей перехід здійснюється шляхом урахування лише поправок за рефракцією та добовий паралакс Сонця, бо вплив інших факторів суттєво менший за точність вимірювань. Як відомо, вплив рефракції зводиться до збільшення видимої висоти світил відносно їх дійсної висоти. Тому поправка за рефракцією є завжди від’ємною. Величина цієї поправки визначається зенітною відстанню світила (або його висотою), а також поточними значеннями температури та атмосферного тиску у нижньому шарі атмосфери. Таблиці поправок за рефракцією наводяться в астрономічному щорічнику та астрономічному календарі (постійна частина).

Добовий паралакс зменшує видиму висоту світила порівняно з дійсною; отже, поправка за бобовий паралакс Сонця завжди додатна. Величина цієї поправки визначається зенітною відстанню Сонця та його горизонтальним паралаксом. Внаслідок зміни відстані між Землею та Сонцем горизонтальний добовий паралакс Сонця протягом року змінюється у невеликих межах. Значення горизонтального паралаксу Сонця також наведені у вказаних вище виданнях.

Точні моменти спостережень, одержані в шкалі поясного або літнього часу, належить перевести у шкалу всесвітнього часу (для наступної інтерполяції схилення та рівняння часу) і в шкалу місцевого часу (для подальшого розрахунку годинного кута Сонця). Цей перехід виконується на основі відомих співвідношень між різними системами відрахування часу:

(5)

Наступним кроком є одержання значень схилення Сонця і рівняння часу на моменти спостережень. Ця операція виконується методом лінійної інтерполяції названих величин. Процедура лінійної інтерполяції викладена в посібнику . Тому обмежимося тут лише записом розрахункових формул:

(6)

де - схилення Сонця в момент , який подано у шкалі всесвітнього часу, - схилення Сонця в всесвітнього часу на дану дату, - годинна зміна схилення, - «зворотнє» рівняння часу на всесвітнього часу, пов’язане з дійсним рівнянням часу співвідношенням (в Астрономічному щорічнику наводиться величина ), – «зворотнє» рівняння часу в момент , – його годинна зміна.

Останньою підготовчою операцією є обчислення годинних кутів Сонця на моменти спостережень. Використовуючи визначення істинного сонячного часу: , рівняння часу: та його зв'язок з «зворотнім» рівнянням часу, одержимо:

(7)

Слід мати на увазі, що для першої половини істинної сонячної доби (до істинного полудня) формула (7) визначає «зворотній» годинний кут, тобто кут, який доповнює годинний кут Сонця до . В методі визначення широти через приведення на меридіан для моментів перед кульмінацією Сонця використовується саме цей кут. При використанні другого методу для обробки спостережень, проведених зранку, останній доданок у формулі (7) слід відкинути. Якщо ж спостереження проводилися після істинного полудня, формула (7) є робочою для обох методів.

Поиск по сайту: