|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Возведение комплексных чисел в степеньНачнем со всем любимого квадрата. Пример 9 Возвести в квадрат комплексное число Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов. Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения : Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ? И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула: Просто до безобразия. Пример 10 Дано комплексное число , найти . Что нужно сделать? Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали: Тогда, по формуле Муавра: Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Смотрим сколько у нас оборотов в аргументе : оборотов, в данном случае можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол. Таким образом, окончательный ответ запишется так: Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: Хотя – ни в коем случае не ошибка. Пример 11 Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме. Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока. Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел. Пример 12 Возвести в степень комплексные числа , , Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство. Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова: Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень: Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить: Пример 13 Возвести в степень комплексные числа , Это пример для самостоятельного решения.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |