Знакопеременные ряды

Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится абсолютный ряд . Сходимость ряда влечет за собой сходимость ряда .

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если абсолютный ряд расходится, а исходный - сходится.

Числовой ряд называется знакочередующимся, если для любого члены ряда и имеют различные знаки, т.е. .

Признак Лейбница. Пусть для знакочередующегося ряда выполнены условия: 1. Последовательность является не возрастающей: . 2. . Тогда ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: .

Теорема. Если ряд сходится абсолютно к сумме , то члены ряда можно переставлять в любом порядке, и сумма переставленного ряда также будет равна .

Свойство. Члены сходящегося ряда можно группировать произвольно, при этом сумма ряда не изменяется.

Теорема Римана. Если ряд сходится условно, то путем соответствующей перестановки его членов можно получить ряд с наперед заданным значением суммы (при этом не исключается ±∞).

Пример. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

a) ;

b) .

Решение: Для исследования на абсолютную сходимость ряда можно использовать признаки сходимости положительных рядов.

a) Составим ряд из модулей членов данного ряда:

.

Применим для данного ряда признак сходимости Коши:

.

Откуда следует, что ряд сходится абсолютно.

b) Применим признак Лейбница.

1. Последовательность не возрастает .

2. .

Следовательно, ряд сходится.

Рассмотрим ряд составленный из модулей: - это гармонический ряд и он расходится.

Получим, что данный ряд сходится условно.

Поиск по сайту: