|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Примеры решений
Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши. Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно. Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример. Рассмотрим ряд и распишем его подробнее: А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности. Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус». На математическом жаргоне эта штуковина называется «мигалкой». Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн». В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например: Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака. Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов. Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга. Признак Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится. Или в два пункта: 1) Ряд является знакочередующимся. 2) Члены ряда убывают по модулю. То есть, . Если выполнены оба условия, то ряд сходится. Справка для тех, кто забыл, что такое модуль: Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём все знаки и посмотрим только на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначает одно и то же: – Члены ряда без учёта знака убывают. Конец справки Пример 1 Исследовать ряд на сходимость В общий член ряда входит множитель , а значит, нужно использовать признак Лейбница 1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся». 2) Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел , который чаще всего является очень простым. – члены ряда не убывают по модулю. Вывод: ряд расходится. Как разобраться, чему равно ? Очень просто. Как известно, модуль уничтожает минусы, поэтому для того, чтобы составить , нужно просто убрать с крыши проблесковый маячок. В данном случае общий член ряда . Тупо убираем «мигалку»: Пример 2 Исследовать ряд на сходимость Используем признак Лейбница: 1) 2) – члены ряда убывают по модулю. Вывод: ряд сходится. Всё бы было очень просто – но это еще не конец решения! Если ряд сходится по признаку Лейбница, то также говорят, что ряд сходится условно. Если сходится и ряд, составленный из модулей: , то говорят, что ряд сходится абсолютно. Поэтому на повестке дня второй этапрешения типового задания – исследование знакочередующегося ряда на абсолютную сходимость. Я не виноват – такая уж теория числовых рядов =) Исследуем наш ряд на абсолютную сходимость. Таким образом, наш ряд не является абсолютно сходящимся. Заметьте, что в Примере №1 второй этап не нужен, поскольку еще на первом шаге сделан вывод о том, что ряд расходится. Собираем ведёрки, лопатки, машинки и выходим из песочницы. Рассматривать более содержательные примеры из кабины экскаватора. Пример 3 Исследовать ряд на сходимость Используем признак Лейбница: 1) 2) – члены ряда убывают по модулю. Вывод: Ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Анализируя начинку ряда, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть: Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд сходится вместе с рядом . Исследуемый ряд сходится абсолютно. Готово. Пример 4 Исследовать ряд на сходимость Пример 5 Исследовать ряд на сходимость Это примеры для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления в конце урока. Как видите, знакочередующиеся ряды – это просто и занудно! Но не спешите закрывать страницу, всего через пару экранов мы рассмотрим случай, которых многих ставит в тупик. А пока еще пара примеров для тренировки и повторения. Пример 6 Исследовать ряд на сходимость Используем признак Лейбница. Обратите внимание, что я не расписал подробно члены ряда. Их всегда желательно расписывать, но Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Очевидно, что нужно использовать радикальный признак Коши: Таким образом, ряд сходится. Исследуемый ряд сходится абсолютно. Пример 7 Исследовать ряд на сходимость Это пример для самостоятельного решения. Хммм… что-то я немного погорячился на счет простоты. Нередко встречаются знакочередующиеся ряды, которые вызывают затруднения. Пример 8 Исследовать ряд на сходимость Используем признак Лейбница: 2) Дело в том, что не существует стандартных обыденных приемов для решения подобных пределов. Куда стремится такой предел? К нулю, к бесконечности? Здесь важно, ЧТО на бесконечности растёт быстрее – числитель или знаменатель. Если числитель при растёт быстрее факториала, то . Если, на бесконечности факториал растёт быстрее числителя, то он, наоборот – «утянет» предел на ноль: . А может быть этот предел равен какому-нибудь отличному от нуля числу? Попробуем записать несколько первых членов ряда: Создается стойкое впечатление, что , но где гарантия, что при очень больших «эн» факториал не «обгонит» числитель и не утащит предел на ноль? Обратимся к теории математического анализа, там давно всё доказано. Справка – Факториал растёт быстрее, чем любая показательная последовательность, иными словами: или . Да хоть миллион в степени «эн», это не меняет дела. Математики говорят, что факториал более высокого порядка роста, чем любая показательная последовательность. – Факториал растёт быстрее, чем любая степенная последовательность или многочлен, иными словами: или . Вместо можно подставить какой-нибудь многочлен тысячной степени, это опять же не изменит ситуацию – рано или поздно факториал всё равно «перегонит» и такой страшный многочлен. Факториал более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность. – Факториал растёт быстрее, чем произведение любого количества показательных и степенных последовательностей (наш случай). – Любая показательная последовательность растёт быстрее, чем любая степенная последовательность, например: , . Показательная последовательность более высокого порядка роста, чем любая степенная последовательность. Аналогично факториалу, показательная последовательность «перетягивает» произведение любого количества любых степенных последовательностей или многочленов: Конец справки Таким образом, второй пункт исследования (вы еще об этом помните? =)) можно записать так: Вывод: ряд сходится. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: А здесь уже работает старый добрый признак Даламбера: Используем признак Даламбера: Таким образом, ряд сходится. Исследуемый ряд сходится абсолютно. Разобранный пример можно решить другим способом. Теорема: Если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно. Наверное, вы уже заметили, что обратное неверно: если ряд сходится условно, то это еще не значит, что он сходится абсолютно. Пример 8 «на бис» вторым способом. Исследовать ряд на сходимость Решение: Исследуем ряд на абсолютную сходимость: Используем признак Даламбера: Вывод: Исследуемый ряд сходится абсолютно. Правда, при втором способе решения есть риск, что преподаватель оценит И напоследок пара примеров для самостоятельного решения. Один из той же оперы (перечитайте справку), но попроще. Другой для гурманов – на закрепление интегрального признака сходимости. Пример 9 Исследовать ряд на сходимость Пример 10 Исследовать ряд на сходимость После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам, которые не менее Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 4: Используем признак Лейбница: 1) Пример 5: Используем признак Лейбница. Пример 7: Используем признак Лейбница. Примечание: Возможно, не всем понятно, как разложены факториалы. Это всегда можно установить опытным путём, возьмём и сравним какие-нибудь соседние члены ряда: Пример 9: Используем признак Лейбница. Пример 10: Используем признак Лейбница. Исследуемый ряд сходится только условно.
Функциональные ряды. Степенные ряды. Смех без причины – признак Даламбера
Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников, Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Обязательно все три! Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много. На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 99%-ах практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее можно будет рассмотреть материал о сумме степенного ряда и разложении функций в степенные ряды.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.) |