Примеры разложения функций в ряд Маклорена

В данном параграфе мы рассмотрим типовую задачу на разложение функции в ряд Маклорена и определении области сходимости полученного ряда. Нет, мучаться с нахождением производных не придется, мы будем пользоваться таблицей.

Пример 1

Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.

! Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням

Решение незамысловато, главное, быть внимательным и не пропустить какую-нибудь степень, индекс.

Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, в данном случае – от косинуса. Используем элементарное разложение:

.
Область сходимости ряда:

В данном случае

В числителях раскрываем скобки:

Теперь умножаем обе части на «икс»:

В итоге искомое разложение функции в ряд:

Как определить область сходимости? Разложение косинуса сходится при ЛЮБОМ значении «альфа»: , а значит и при . Домножение на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости. Поэтому область сходимости полученного ряда:

Пример 2

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Это пример для самостоятельного решения.

Я не стал рассматривать простейшие разложения вроде , или , поскольку это фактически задача в одно действие. В нужные табличные разложения вместо «альфы» необходимо подставить , , и немного причесать полученные ряды. Единственное предостережение – не теряйте по невнимательности степени и знаки.

А сейчас для разнообразия рассмотрим что-нибудь с минусами.

Пример 3

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

В таблице находим похожее разложение:

Область сходимости ряда: , концы интервала нужно исследовать дополнительно.

Трюк прост: перепишем функцию немного по-другому:

Таким образом, и:

Окончательно:

Теперь нужно определить область сходимости. Смотрим на табличное неравенство . У нас тут минус и «икс» в квадрате: , не факт, что область сходимости полученного ряда будет именно такая. В сомнительных случаях надежнее всего подробно проанализировать полученный степенной ряд. В данном случае функция разложилась в ряд . Используя штатный признак Даламбера (урок Степенные ряды. Область сходимости ряда), легко найти интервал сходимости ряда: . Будет ли сходиться ряд на концах интервала? Если подставить значения , , то в обоих случаях получится расходящийся гармонический ряд (знак «минус» перед рядом никак не влияет на сходимость или расходимость).

Таким образом, область сходимости полученного ряда:

Интересно отметить, что простейшее разложение из учебника сходится ещё в одной точке, и область сходимости соответствующего ряда: . А разложение в ряд такого логарифма: – сходится на обоих концах интервала:

Таким образом, когда вам дан для разложения любой логарифм, следует быть предельно аккуратным и внимательным.

Пара примеров для самостоятельного решения:

Пример 4

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Пляска традиционно начинается от функции, то есть, начинать нужно с экспоненты.

Пример 5

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Здесь разложение не такое трудное, но могут возникнуть трудности с нахождением области сходимости полученного ряда.

Полные решения и ответы в конце урока.

Не редкость, когда перед разложением функции в ряд её необходимо предварительно преобразовать. Канонический случай – это разложение функции . Перед тем как ее раскладывать в ряд, необходимо понизить степень с помощью известной тригонометрической формулы: . Решать я этот пример не буду, поскольку он довольно простой, к тому же что-то подобное мы недавно рассмотрели.

Пример 6

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Смотрим в таблицу и находим наиболее похожее разложение:

Во-первых, вверху нужно получить единицу, поэтому представляем функцию в виде произведения:
Теперь нам нужно в знаменателе устроить , для этого выносим двойку за скобки:

И сокращаем на два:

В данном случае , таким образом:

В итоге искомое разложение:

Определим область сходимости ряда. Можно пойти длинным и надежным путем, используя признак Даламбера для полученного степенного ряда , т.е. найти интервал сходимости ряда и исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

А можно поступить проще. Из таблицы известно, что биномиальный ряд стопудово сходится при . В данном случае , поэтому:

Умножаем все части неравенства на :
– интервал сходимости полученного ряда.
Что происходит с рядом на концах интервала?
При
При
Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Таким образом, область сходимости полученного ряда:

Пример 7

Разложить функцию в ряд по степеням . Найти область сходимости ряда.

Указание: предварительно функцию следует упростить, используя свойства логарифмов:

Это пример для самостоятельного решения.

Разложение функций в ряд Маклорена необходимо проводить в ряде других задач, например, в задаче приближенного вычисления определенного интеграла. Кстати, там, помимо нового материала, можно посмотреть примеры других разложений, которые не поместились в этот урок.

Примеры разложения функций в ряд Тейлора по степеням

Данное задание является более сложным и встречается значительно реже. Я сначала вообще не хотел включать задачу в урок, но всё-таки решил, что 2-3 примера не помешают. Пригодится.

Вытащим из чулана общую формулу Тейлора, о которой уже упоминалось:

Еще раз повторю, что вместо буквы «а» на практике часто можно встретить букву .

В чём сложность разложения функции по степеням ? Сложность состоит в том, что нам не удастся воспользоваться табличными разложениями, и придётся самостоятельно находить производные.

Сразу небольшой Пример 8

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням

В данном случае , смотрим на формулу Тейлора, и становится уже всё понятнее.
Теперь предстоит ручная работа по конструированию разложения:

, все производные, начиная с четвёртой производной, будут нулевыми.

Теперь подставляем весь найденный скарб в формулу Тейлора:

Готово. Для проверки можно раскрыть скобки:

Получен исходный многочлен, что и требовалось проверить.

Рассмотрим более содержательные примеры.

Пример 9

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.

Решение: Используем разложение функции в ряд Тейлора по степеням

Хех, опять предстоит ручная работа….

В данном случае:

Замечаем, что с такими раскладами производные можно находить до бесконечности. Поэтому необходимо уловить некоторую закономерность. Найдем ещё третью производную:

А теперь проанализируем найденные производные: , , . Закономерность прослеживается: знаки чередуются, в числителе накручивается факториал, а в знаменателе растёт степень.

Теперь, исходя из выявленной закономерности, нужно составить производную «энного» порядка. В данном случае она выглядит так:

Как проверить, правильно ли составлена энная производная? Подставьте в неё значения , , и вас должны получиться в точности первая, вторая и третья производные. После того, как мы убедились в том, что энная производная составлена правильно, подставляем в неё наше значение:

Теперь осталось все труды подставить в формулу Тейлора и аккуратно провести упрощения:

Далее необходимо найти область сходимости полученного степенного ряда . Это стандартная задача, которую мы многократно прорешивали на уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда. Я сразу приведу ответ, поскольку умею решать почти все ряды устно =)

Область сходимости полученного степенного ряда:

И заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 10

Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда.

Если честно, то от рядов уже в глазах мельтешит, не злоупотребляйте!
Пожалуйста, сообщите, если где заметили опечатку или ошибку.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Используем разложение: . Данный ряд сходится при любом значении .
В данном случае


Область сходимости ряда: .

Пример 4: Используем разложение: . Область сходимости ряда: .
В данном случае

Конструируем функцию дальше:

Окончательно:

Поскольку разложение экспоненты сходится при любом «альфа», то область сходимости полученного ряда:

Пример 5: Используем частный случай биномиального разложения:

В данном случае
Таким образом:

Само по себе разложение не слишком сложное, важно правильно найти область полученного сходимости ряда. Есть длинный путь и короткий.

Путь короткий: из таблицы находим комментарий к биномиальному разложению: «Область сходимости ряда: . Сходимость ряда в точках , исследуется отдельно». В данном случае , то есть, ряд точно сходится при: . Делим все части на 3 и извлекаем из всех частей кубический корень:

– интервал сходимости ряда.
Подставляем концы интервала в полученный ряд .
Если , то:

При
Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Окончательно. Область сходимости полученного ряда:

Путь длинный (но более надежный и универсальный) состоит в исследовании полученного ряда с помощью признака Даламбера по стандартной схеме, рассмотренной на уроке Степенные ряды. Область сходимости ряда.

Пример 7: Преобразуем функцию:

Используем разложение:

В данном случае

Таким образом:

Или короче, в свёрнутом виде:
Найдем область сходимости полученного степенного ряда. По таблице находим, что использованное разложение сходится при . В данном случае , поэтому:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.
Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:
При – расходится
При – сходится условно.
Таким образом, область сходимости полученного степенного ряда:

Пример 10: Решение: Используем разложение функции в ряд Тейлора по степеням :

В данном случае:







…


…
Таким образом:
Область сходимости полученного степенного ряда уже надоела.
Ответ:

ряд сходится при .

Поиск по сайту: