АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Признаки сравнения для положительных числовых рядов

Читайте также:
  1. E) ограниченное смещение связанных зарядов
  2. II.1.4. Семантический механизм создания образного сравнения
  3. IV. Порядок присвоения спортивных разрядов
  4. The Degrees of Comparison of Adjectives – Степени Сравнения Имен Прилагательных
  5. VI регионального слета студенческих спасательных отрядов среди команд Сибирского федерального округа
  6. Алгоритм расчета и условия выплаты премии рядовым работникам
  7. Аналитические методы сглаживания временных рядов
  8. Аналитическое выравнивание временных рядов
  9. Б. Другие признаки беспокойства
  10. В57. Существенные признаки кризиса полиса в IV веке до н.э. (в социально-экономической, политической и идеологической областях).
  11. Временных рядов
  12. Временных рядов

Существуют два признака сравнения, один из них я буду называть просто признаком сравнения, другой – предельным признаком сравнения.

Сначала рассмотрим признак сравнения. На практике он встречается довольно редко, но эта статья была бы неполной без данной информации.

Признак сравнения: Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно, что ряд сходится, и выполнено неравенство (для ), то ряд тоже сходится.

Иными словами: Из сходимости ряда с бОльшими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

Пример 8

Исследовать ряд на сходимость

Заглядываем в «пачку» обобщенного гармонического ряда и находим похожий ряд: . Из теории известно, что он сходится. Теперь нам нужно показать, что всех значений справедливо неравенство .

Если , то
Если , то
Если , то
Если , то
….
И так далее.

Оформить решение можно так:

Сравним исследуемый ряд со сходящимся рядом . Используем признак сравнения. Для рассматриваемых рядов выполнено неравенство , значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

В принципе, можно расписать и подробнее, указав, что неравенство выполняется для нескольких первых членов.

Проанализируем признак сравнения и решенный пример с неформальной точки зрения. Все-таки, почему ряд сходится? А вот почему. В теории доказано, что ряд сходится, значит, он имеет некоторую конечную сумму : . Если все члены ряда меньше соответствующих членов ряда , то ясен пень, что сумма ряда не может быть больше числа , и тем более, не может равняться бесконечности!

Аналогично можно доказать сходимость «похожих» рядов: , , и т.д.

! Обратите внимание, что во всех случаях в знаменателях у нас находятся «плюсы». Если есть минусы, то рассматриваемый признак сравнения может не дать результата. Например, рассмотрим ряд . Попробуйте аналогично сравнить его со сходящимся рядом , выпишите несколько неравенств для первых членов. Вы увидите, что неравенство не выполняется и признак не дает нам ответа. Придется использовать другой признак, чтобы выяснить, сходится этот ряд или нет.

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость

В примере я предлагаю самостоятельно рассмотреть вторую «зеркальную» часть теоремы: Если известно, что ряд расходится, и выполнено неравенство (для ), то ряд тоже расходится.
Иными словами: Из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с бОльшими членами.

Что нужно сделать?
Нужно сравнить исследуемый ряд с расходящимся гармоническим рядом : построить несколько неравенств и сделать вывод о справедливости неравенства .

Решение и образец оформления в конце урока.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)