Аналитические методы сглаживания временных рядов

Обнаружение исследователем факта присутствия во временном ряду вековой составляющей делает насущной задачу оценки параметров модели тренда. Т.е., модели вида , где

- «вековой уровень», тренд, или систематическая составляющая (неслучайная функция времени) ряда (далее здесь - f(t));

- несистематическая случайная составляющая ряда с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Обычно в ходе применения процедур выделения тренда из уровней временного ряда предполагается, что разница между фактическим значением уровня и трендом может включать в себя в самом общем случае циклическую, сезонную компоненты, а также случайные колебания.

В этой связи желательно сузить круг допустимых аппроксимирующих кривых. Можно попытаться оценить тенденцию визуально, однако, как правило, это приводит к качественным суждениям типа: «Наблюдается рост». Или в лучшем случае: «Наблюдается плавный рост». Более конструктивно вид функции тренда подбирают исходя из типа роста исследуемого процесса, опираясь на предварительно рассчитанные показатели абсолютного цепного прироста и ускорения. Несмотря на многообразие реальных экономических процессов, динамические характеристики которых могут существенно отличаться друг от друга, ограничить класс функций можно, отобрав те, которые отражают особенности динамики показателя, прежде всего тип развития. На практике различают четыре основных типа экономического роста (аналогичная классификация может быть применена и для динамических рядов со снижающимися значениями абсолютного цепного прироста [26, 57]):

I – постоянный рост (с постоянным или близким к нему абсолютным цепным приростом);

II – увеличивающийся рост (с увеличивающимся абсолютным цепным приростом);

III – уменьшающийся рост (с уменьшающимся абсолютным цепным приростом);

IV – рост с качественными изменениями динамических характеристик на протяжении исследуемого периода.

Для каждого типа роста наиболее часто в практике экономических исследований встречаются следующие виды функций трендов.

I тип роста

1. Линейная функция: f(t)= a₀+a₁t.

2. Линейно-гиперболическая функция: f(t)= a+bt+g/t, где b>0; g>0.

3. Линейно-логарифмическая функция 2-го порядка:

f(t)= a₀+a₁ln(t)+ a₂ln²(t),

где a₁>0; a₂>0.

II тип роста

1. Показательная функция: f(t)= a(1+b)^t, где a>0; b>0.

2. Парабола 2-го порядка: f(t)= a₀+a₁t+a₂t², где a₁>0; a₂>0.

3. Парабола 3-го порядка: f(t)= a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³,

где a₁>0; a₂>0; a₃>0.

4. Обобщенная функция: f(t)= ,

где r(t) - линейная, параболическая или другая функция, a >0.

III тип роста

1. Степенная функция: f(t)= at^b, где a>0; 0<b<1.

2. Линейно-логарифмическая функция: f(t)= a₀+a₁ln(t), где a₁>0.

3. Парабола 2-го порядка: f(t)= a₀+a₁t+a₂t², где a₁>0; a₂>0.

4. Гипербола 1-го порядка: f(t)= a₀+a₁/t, где a₁<0.

5. Гипербола 2-го порядка: f(t)= a₀+a₁/t +a₂/t², где a₁<0; a₂<0.

6. Модифицированная экспонента: f(t)=a+be^-t, где b<0.

IV тип роста

1. Линейно-логарифмическая функция 2-го порядка:

f(t)= a₀+a₁ln(t)+ a₂ln²(t),

где a₁>0; a₂>0.

2. Парабола 3-го порядка: f(t)= a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³,

где a₁>0; a₂>0; a₃>0.

3. Логистическая функция: f(t)= , где a>0; b>0; g>0.

4. Первая функция Торнквиста: f(t)= , где a>0; b>0.

5. Кривая Гомперца: f(t)=ab^gt, где a>0; b>0; g>0.

Для анализа особенностей трендовых моделей применимы следующие предельные (непрерывные) характеристики развития:

1) непрерывный абсолютный прирост: = dQ(t)/dt;

2) непрерывный темп прироста: ;

3) непрерывное абсолютное ускорение: ;

4) непрерывное относительное ускорение: .

Поиск по сайту: