Алгоритмы структуризации целеполагания

В рамках общей процедуры моделирования целеполагания различают два этапа.

1. Исходный анализ изучаемой предметной области и ее проблематики. Его целью в контексте предмета нашего рассмотрения является как можно более полное выявление множества целей развития и выработка предварительных гипотез относительно из возможной приоритетности.

2. Окончательный анализ множества целей, обоснование и выстраивание пирамиды целей, а также определение ресурсно-временных параметров этой иерархии.

1. Алгоритмы комплексного анализа ситуации

Морфологический анализ ситуации.

С позиции системного анализа очень важна корректная и полная постановка целей. Примером ошибки неполной постановки целей является традиционная «проблема планировщика», связанная с подменой глобальных целей развития сиюминутными, краткосрочными.

На поиск всех возможных вариантов направлены методы комбинаторно-морфологического анализа и синтеза [21].

Основная цель морфологического исследования – поиск возможно более полного множества решений проблемы и способов их реализации на основе разделения рассматриваемой системы на подсистемы и элементы, формирования подмножеств альтернативных вариантов реализации каждой подсистемы, комбинирования различных вариантов решения системы из альтернативных вариантов реализации подсистем, выбора наилучших вариантов.

Метод морфологического анализа реализуется в два качественно различных этапа:

- морфологический анализ: получение описания всех систем, принадлежащих к исследуемому классу (классифицирование множества систем);

- морфологический синтез: оценка описания различных систем исследуемого класса и выбор из них тех, которые в том или ином приближении соответствуют условиям задачи.

Постановка задачи морфологического синтеза может быть сформулирована следующим образом:

1. синтезировать и выбрать наилучший вариант системы;

2. упорядочить весь набор синтезированных вариантов;

3. синтезировать и выбрать вариант, наиболее близкий по свойствам к заданному образу, прототипу, эталону;

4. синтезировать и упорядочить весь набор вариантов по степени сходства к заданному объекту.

Классическая задача морфологического синтеза предполагает следующую структуры ее описания:

5. множество допустимых альтернатив для реализации функций (каждая альтернатива может реализовать одну или более одной функции);

6. множество критериев альтернатив и выбора варианта системы (скалярный критерий или векторный критерий);

7. множество методов измерения предпочтения альтернатив (использование номинальной, ранговой, интервальной шкал, экспертная оценка с помощью комментариев, экспериментальная оценка, оценка на основе продукционных правил и т.д.);

8. способы отображения множества допустимых альтернатив, реализующих функции, в множество критериальных оценок (детерминированный или вероятностный);

9. формирование системы предпочтения одним лицом или коллективом;

10. способы исследования системы (в целом или по частям);

11. методы оценки вариантов (в целом после его синтеза из частей или отдельных подсистем, альтернатив и их сочетаний до начала процедуры синтеза);

12. процедуры выбора вариантов (возможны: последовательный перебор по принципу лексикографического упорядочения; последовательный перебор; случайное зондирование морфологического множества; детерминированное зондирование);

13. вид целевой функции (аддитивная, мультипликативная, целевая функция на основе мер сходства и различия);

14. число рассматриваемых уровней системы;

15. уровень формализации постановки и решения задачи (неформализованный эвристический подход; формально-эвристический подход; полностью формализованный подход);

16. решающее правило, отражающее систему предпочтений.

Целями морфологического анализа и синтеза систем являются:

- системное исследование всех возможных вариантов решения задачи, вытекающих из закономерностей строения (морфологии) совершенствуемого объекта;

- реализация совокупности операций поиска на морфологическом множестве вариантов описания функциональных систем, соответствующих исходным требованиям.

Морфологическое множество вариантов описания функциональных систем представляется морфологической таблицей (см. рис. 13).

Функция подсистемы (Ф i) или обобщенная функциональная подсистема (ОФПС i)	Альтернативы для реализации Ф i или ОФПС i	Число способов реализации Ф i или ОФПС i
Ф1	A11	A12	A13	…	A1 K 1	K 1
Ф2	A21	A22	A23	…	A2 K 2	K 2
...	...	...	...	...	...	...
Ф i	A i 1	A i 2	A i 3	…	A iKi	Ki
...	...	...	...	...	...	...
Ф L	A L 1	A L 2	A L 3	…	A LKL	KL

Рис.13. Пример представления морфологической таблицы исследования.

Метод морфологического анализа и синтеза реализуется в несколько этапов:

Этап 1. Проводится формирование исходной цели или проблемы, отражающей основные требования к синтезируемому объекту.

Этап 2. Осуществляется построение морфологической таблицы и заполнение ее альтернативами.

Этап 3. Описываются свойства альтернатив морфологической таблицы. Свойства альтернатив могут характеризоваться в шкале наименований классификационными функциональными и структурными признаками или в числовой шкале, отражающей качество альтернатив по различным критериям.

Этап 4. Описываются характеристики достижимости альтернатив.

Этап 5. Реализуется та или иная процедура поиска вариантов решения задачи. Под поиском в данном случае подразумевается последовательность операций выбора из морфологического множества вариантов описания функциональной системы и операций оценки эффективности и совместимости подсистем, образующих синтезированный целостный вариант. Определяется соответствие варианта требованиям к искомой функциональной системе – от понятия «подходящее решение» до понятия «оптимальное или рациональное решение».

2. Алгоритмы структуризации

K-ступенчатый ситуационный анализ

Для правильной постановки целей, процессу их формулирования должны предшествовать констатация и комплексный анализ ситуации.

K -ступенчатый ситуационный анализ представляет собой комплексную процедуру анализа ситуации, с целью выявления наиболее значимых показатели с точки зрения субъекта исследования.

В рамках этой процедуры могут использоваться различные экономико-математические методы: факторный, компонентный анализ, метод дифференциального исчисления, индексный метод определения влияния факторов на обобщающий показатель, метод ценных поставок и т.д.

Рассмотрение каждой проблемной ситуации в рамках этого подхода делится на два этапа.

На первом дается оценка положительного или отрицательного изменения главного показателя, и формулируются выводы о характере этих изменений.

На втором этапе анализируются факторы, влияющие на главный показатель. При этом величина изменения каждого из факторов, в случае реализации мультипликативной модели, воздействует на суммарную величину всех факторов прямо пропорционально, а в случае реализации кратных моделей – обратно пропорционально. Вследствие этого, если факторы изменяются в противоположных направлениях, решающим является влияние того фактора, темпы изменения которого соответственно больше или меньше. Если же факторы меняются в одном направлении, то изучение темпов роста представляет собой интерес, поскольку позволяет выявить преимущественное влияние одного из них.

Сложность анализа быстро увеличивается, в зависимости от количества уровней взаимосвязи показателей. K -ступенчатый ситуационный анализ совместно с факторным анализом позволяет проследить взаимосвязи показателей более, чем на один уровень, и выявить скрытые экономические явления, происходящие в исследуемой системе.

Процедура представляется следующими правилами [24]:

1. Ситуация рассматривается на самом высоком уровне дерева целей управления.

2. Следующая ситуация, выделяемая на более низком уровне дерева, соответствует направлению изменения фактора на более высоком уровне. Это правило повторяется до тех пор, пока не будет достигнут уровень терминальных вершин дерева, которые имеют признак положительной или отрицательной характеристики ситуации.

3. Если знаки изменения ситуации на предыдущем уровне соответствуют знакам изменения факторов на последнем уровне, то процесс анализа завершается, в противном случае следует подняться выше и повторить правила 2 и 3.

Иллюстрация формального представления K -ступенчатого ситуационного анализа приводится на рис. 14, где с помощью идентификаторов С обозначены ситуации, а в скобках буквами – факторы, знаки при которых указывают направления их изменения.

На рис. 14 ситуация С 1 заключается в том, что главный показатель А увеличивается за счет увеличения факторов B и C. На следующем ниже уровне убеждаемся, что данное изменение может быть результатом снижения фактора K и увеличения фактора P или же увеличения фактора K и снижения фактора Р. Т.е. на данном уровне более высокому уровню соответствуют две стратегии. Рассмотрим далее первую из них.

Рис. 14. Иллюстрация K -ступенчатого ситуационного анализа динамики показателей

Снижению фактора K на следующем уровне соответствует также две ситуации – С 111; С 112, которые могут быть результатом либо снижения факторов S и T, либо увеличения фактора S, но уменьшения фактора Т. Обратившись к последнему уровню, можно удостовериться в том, что такая ситуация имеет место в реальной действительности. Поэтому увеличение фактора В в ситуации С 1 является полностью идентифицированной, т.е. его динамика правдива.

Аналогично проводится анализ остальных факторов.

Однако на уровне терминальной вершины может быть реально зафиксирована иная ситуация, а именно C 1112((S: +20)(T: –30)), которая противоречит ситуации С 111 более высокого уровня. В этом случае (правило 2) необходимо подняться на более высокий уровень и убедиться в наличии нужной ситуации (в нашем случае это ситуация С 112). Если на данном уровне такая ситуация отсутствует, необходимо подняться еще выше. Если же реальную ситуацию, отраженную на уровне терминальной вершины, идентифицировать не удалось, то следует делать вывод о несовершенстве системы анализа. Новую ситуацию необходимо изучить и добавить в систему.

Главный результат состоит в том, что обеспечивается поиск «плохих» ситуаций, которые на самом верхнем уровне показываются как «хорошие».

Формирование множества альтернативных наборов мероприятий

Задача формирования множества вариантов реализации стратегического плана имеет единственное тривиальное решение, в случае, если все дуги на выходе вершин соединены логическим отношением И.

Алгоритм решения [25] заключается в полном последовательном переборе вариантов. Дерево просматривается, начиная от корня. При прохождении вершины типа ИЛИ выбирается одна из не просмотренных дуг (например, самая левая из них), а вершина запоминается как точка возврата. Имеются различные модификации этого алгоритма и соответствующие программные реализации. Один из алгоритмов описан выше в разделе «Алгоритмы структуризации».

Каждый из альтернативных вариантов выполнения стратегического плана характеризуется набором критериев достижения целей; набором показателей степени достижения целей; совокупностью значений ресурсов, необходимых для реализации варианта; приоритетом. Приоритет, который рассчитывается на основе приоритетов целей и мероприятий, является важной характеристикой каждого из наборов мероприятий.

Для определения приоритетов вариантов реализации стратегического плана w_s необходимо учитывать только системные приоритеты мероприятий, входящих в s-й набор:

w_s = F (γ _{1 s} , …, γ_ks, …, γ_ms),

где γ_ks – системный приоритет k -го мероприятия, входящий в s -й вариант реализации плана.

Возможны различные способы построения функции F [26]. Например, возможна следующая схема:

1) строятся векторы { p_s }, число компонентов каждого из которых равно числу рангов мероприятий s-го варианта реализации плана, рассчитанных по их системным приоритетам;

2) подсчитывается количество мероприятий каждого ранга (начиная с первого в порядке возрастания), вошедших в вариант реализации плана;

3) полученные векторы { p_s } упорядочиваются по лексикографическому правилу и определяют ранги вариантов реализации плана. Например, три вектора: р ₁ = (3, 2, 2); р ₂ = (3, 3, 7); р ₃ = (5, 1, 1) упорядочиваются следующим образом: р ₃ – первый ранг, р ₂ – второй ранг, р ₁ – третий ранг.

Для выбора оптимального варианта реализации плана π ^* ставится и решается задача многокритериальной оптимизации. Критериями оптимальности являются: максимум значения показателя достижения целей; максимум приоритета варианта и минимум затрат ресурсов. Для упорядочения вариантов реализации плана и определения наилучшего могут быть применены различные принципы группового выбора по перечисленным выше критериям.

Приведем структуризацию процесса выбора оптимального варианта реализации плана π ^*, в схему которой можно вложить основные разработанные способы решения задач многокритериального выбора [30]. Процесс включает три последовательные операции:

1. Определение множества допустимых вариантов реализации плана (π _д).

2. Определение множества эффективных вариантов реализации плана (π _э).

3. Определение единственного оптимального варианта программы (π ^*).

Допустимыми вариантами программы называются такие варианты, которые удовлетворяют ограничению, определяемому набором значений величин Ω ₀ = (α ₀, Q ₀), на совокупность их характеристик. Ограничение Q ₀ накладывается на совокупность ресурсов Q_s варианта, а ограничение α ₀ – на набор показателей степени достижения целей α_s.

Под множеством эффективных вариантов реализации плана традиционно понимается Парето-оптимальное множество.

В системах процедур разработки стратегических планов развития центральное место занимает метод структуризации, обеспечивающий получение и анализ структуры (графа) объектов. Декомпозиция объектов в этом случае сводится к формированию каталога, т.е. упорядоченного перечня этих объектов. В настоящее время существует большое количество специальных методик формализации процедур стратегических планов. В качестве иллюстрации приведем пример изложенный в [27].

Исходной информацией для решения задачи структуризации является представленная в соответствующей форме матрица парных сравнений каталога объектов (декомпозиция предполагается уже выполненной) по введенному отношению R.

Для определения обобщенного отношения R на множестве целей и мероприятий введем следующие бинарные отношения:

R ₁ – необходимости (цель A_j или мероприятие M_k необходимо для достижения цели A_i);

R ₂ – частности (цель A_j является составной частью цели A_i);

R ₃ – эквивалентности (цель A_j совпадает с целью A_i с точностью до формулировки или мероприятие M_k и M_l предполагают одну и ту же совокупность действий);

R ₄ – достаточности (некоторого набора целей или мероприятий достаточно для достижения цели A_i).

Отношение R ₄ может быть сведено к многоместному отношению на множествах целей А и мероприятий М.

Для определения обобщенного отношения R с учетом отношения R ₄ определим множество подмножеств множества целей Ã с элементами Ã_l, l = 1, 2, …, L, и множество подмножеств множества мероприятий , р = 1, 2, …, P.

Тогда обобщенное отношение R между целью A_i и множеством целей Ã_l, по которому упорядочивается система целей, содержательно означает, что любая цель A_i Î А и соответствующее множество целей Ã_l находятся в отношении R, если любая цель из множества целей Ã_l находится в отношении необходимости и частности одновременно с целью A_i, а достижение целей множества Ã_l обеспечивает достижение цели A_i. Если A_i – цель нижнего уровня, достижение которой обеспечивается выполнением мероприятий, то наличие отношения R между целью A_i и множеством мероприятий означает, что набора мероприятий должно быть необходимо и достаточно для достижения цели A_i.

Из алгоритмов структуризации выделим следующие:

А₁ – формирование матрицы парных сравнений по исходному каталогу объектов и связям между его элементами;

А₂ – выделение классов эквивалентных объектов и построение суженной матрицы парных сравнений;

А₃ – транзитивное замыкание матрицы парных сравнений;

А₄, А₅ – формирование структуры графа объектов в соответствии с введенными отношениями (реализуется последовательным применением алгоритмов А₄, А₅);

А₆ – перечисление вариантов реализации стратегического плана.

В процессе сравнения объектов происходит измерение того или иного бинарного отношения. Способом описания бинарного отношения между объектами является способ непосредственного задания принадлежности пар объектов заданному отношению.

В качестве математической модели бинарного отношения пар объектов каждого типа выбрана матрица парных сравнений объектов:

А = { a_ij }, i, j = 1, 2, …, N,

где N – число объектов данного типа.

Если Õ = { o_i }, i = 1, …, N – множество объектов; R – произвольное бинарное отношение на множестве, то правило построения матрицы А следующее:

a_ij = .

Алгоритм А₁ формирования и первичного заполнения матрицы (алгоритм парных сравнений) включает следующие основные операции:

А1.1. Задается количество объектов парного сравнения (N) и определяется матрица A;

А1.2. Формируется вектор N = { n_k }, k = 1, …, K номеров объектов, для которых необходимо произвести парное сравнение;

А 1.3. Для каждых i и j выбираются пары формулировок o_i, o_j;

А1.4. Измеряются и фиксируются результаты измерения введенного отношения. После необходимых вычислений происходит соответствующее изменение элементов а_ij и a_ji матрицы А.

При измерении отношения R анализируется взаимосвязь объектов в соответствии с введенным отношением, т.е. определяется в одном цикле сравнений принадлежность данной пары (o_i, o_j) или ее перестановки (o_j, o_i) отношению R, эквивалентность или несравнимость объектов этой пары. Будем считать, что если какие-либо объекты эквивалентны, то они совпадают с точностью до формулировок и в каталоге объектов должен остаться лишь один из них. Группы эквивалентных объектов называется классом эквивалентности, а оставленный после устранения дубликатов в каталоге объект – представителем класса эквивалентности.

Отношение эквивалентности, определяющее классы эквивалентности, обладает свойством транзитивности, поэтому для выделения классов эквивалентных объектов необходимо провести транзитивное замыкание этого отношения, т.е учесть, что если o_i ~ o_j и o_j ~ o_k, то o_i ~ o_k.

Алгоритм А₂ выделения классов эквивалентных объектов и построения суженной матрицы парных сравнений происходит по следующему правилу:

А2.1. По матрице А формируется матрица смежности отношения эквивалентности А_Е с элементами ã_ij = а_ijа_ji.

А2.2. Формируется транзитивное замыкание матрицы А_Е (Ā_Е).

А2.3. Для каждой строки матрицы Ā_Е отмечаются номера столбцов, для которых ā_ij = 1.

А2.4. Множество номеров строк, у которых номера всех отмеченных столбцов совпадают, образует множество номеров объектов, принадлежащих одному классу эквивалентности. Класс эквивалентности будем называть невырожденным, если в нем более одного объекта.

А2.5. Для каждого невырожденного класса эквивалентности определяется объект-представитель (по умолчанию – это объект с наименьшим номером).

А2.6. В строках матрицы А, соответствующих объекту-представителю каждого класса эквивалентности, заносится единица на j -е место, если хотя бы для одной строки этого же класса эквивалентности на j -м месте стоит единица.

А2.7. Все строки и столбцы матрицы А, соответствующие объектам невырожденных классов эквивалентности, не являющихся объектами-представителями, выбрасываются, а оставшиеся строки и столбцы матрицы А нумеруются вновь в порядке возрастания, начиная с 1, с шагом 1.

В результате выполнения процедуры сжатия число объектов, вообще говоря, уменьшится, может измениться и структура связей между объектами. По этой и другим причинам может возникнуть необходимость проведения парных сравнений и измерения отношения R на подмножестве множества пар объектов.

Транзитивным замыканием вершины o_j графа G будем называть подмножество вершин графа, содержащее саму эту вершину и те вершины, из которых существует путь в o_ij. Граф G называется транзитивно замкнутым, если для каждой его вершины o_i указаны непосредственные связи со всеми вершинами транзитивного замыкания вершины o_i. Транзитивно замкнутому графу G соответствует транзитивно замкнутая матрица смежности А.

Известен алгоритм транзитивного замыкания (A₃) графа G, заключающийся в возведении матрицы А в степень до тех пор, пока не будет выполнено равенство А^М–1 = А^М.

Алгоритм А₄ выделения уровней графа без циклов включает следующие процедуры:

A4.1. L = 1; A _L = A.

А4.2. Если матрица A_L ненулевая, то для каждого столбца матрицы A _L производится подсчет количества единиц в столбце. Если же матрица al нулевая, то это конец работы А₄.

А4.3. Номера столбцов, для которых полученные в А4.2 числа равны единице, определяют (L – 1)-й уровень графа G.

А4.4. Строится матрица A _{L +1}, в которой все столбцы и строки, соответствующие объектам (L – 1)-го уровня графа G, заполнены нулями, а остальные совпадают со столбцами и строками матрицы A _{L .} Переменная L принимает значения L + 1, переход к процедуре А 4.2. Алгоритм закончит работу, когда величина L + 1 станет на единицу больше числа уровней графа G.

Алгоритм устранения лишних связей в графе G (A₅) определим последовательностью процедур:

A5.1. L = 1; A _{L –1} = Ā, где Ā – матрица транзитивного замыкания графа G.

А5.2. Если величина L меньше числа уровней графа G, то для каждого из объектов
o_i (i Î I _{L– 1}) (L – 1)-го уровня графа G построим матрицу А _i ^*, все столбцы и строки которой с номерами, равными номерам столбцов ненулевых элементов i -й строки- матрицы A _{L –1}, совпадают с соответствующими строками и столбцами матрицы A _{L –1}. Остальные элементы матрицы А _i ^* положим равными нулю. Если величина L больше или равна числу уровней графа G, то это конец работы А₃ и все лишние связи устранены, а граф определен матрицей А _{L –1}. В противном случае переход к А5.3.

А 5.3. Рассматривая каждую из матриц А _i ^* как матрицу смежности, выделим первый уровень соответствующего графа объектов.

А 5.4. Положим равными нулю все элементы i -й строки (i Î I _{L– 1}) матрицы A _{L –1}, кроме элементов, соответствующих объектам первого уровня графа объектов, определенного матрицей А _i ^*, и диагональных элементов. Обозначим полученную матрицу A _L.

А 5.5. Придадим переменной L значение L + 1. Переход к А 5.2.

Алгоритм А₆ – перечисление вариантов реализации генеральной цели – позволяет при наличии альтернативных вариантов выполнения мероприятий программы сформировать полный набор альтернативных вариантов этого графа.

Приведем алгоритм перечисления вариантов программы А₆.

А6.1. Формируется вектор H = { h_n }; n = 1, …, N номеров мероприятий верхнего уровня, подсчитывается количество альтернативных мероприятий || S ₁||. Первые || S ₁|| компонентов вектора Н заполняются номерами альтернативных мероприятий верхнего уровня, остальные || S ₂|| номерами неальтернативных мероприятий.

А6.2. Подсчитывается величина M = , равная количеству альтернативных вариантов выполнения стратегического плана с детализацией до последующего уровня.

Если величина М превышает заданное число М _max, то алгоритм прекращает работу. Величина М _mах определяется из соображений обозримости количества вариантов достижения генеральной цели.

А6.3. Варианты выполнения стратегического плана определяются в цикле по строкам и столбцам матрицы Q = { q_mt } (m – количество альтернативных мероприятий верхнего уровня; t – максимальное количество альтернативных вариантов в одном мероприятии). Внутри цикла происходит проверка каждого варианта на наличие нулевого номера. Если такой номер появился, то вариант не формируется, а выбирается следующий номер альтернативы в последующей строке матрицы Q.

А6.4. Формирование варианта заключается в последовательном изме­нении в цикле по m и t первых || S ₁|| компонентов вектора Н.

А 6.5. При повторении номеров мероприятий в одном и том же варианте все компоненты вектора Н, соответствующие одним и тем же номерам, кроме одного компонента, отбрасываются.

Методы определения локальных приоритетов

Определение локальных приоритетов производится экспертным путем и осуществляется в шкале интервалов или в порядковой шкале. При этом могут использоваться методы ранжирования, парных сравнений или непосредственной оценки. Локальные приоритеты, измеренные в порядковой шкале, определяются как ранги, характеризующие относительную важность целей в одной окрестности.

Рассмотрим некоторые методики назначения приоритетов.

Система PATTERN

Исходным моментом в использовании методики PATTERN [25] является отображение целевого пространства в виде дерева типа «цели – мероприятия». Все вершины дерева относятся к типу ИЛИ, дуги интерпретируются следующим образом: «Реализация цели, соответствующей конечной вершине, обеспечивает реализацию цели, соответствующей начальной вершине в степени, являющейся числовой характеристикой дуги (если дуги имеют метки), иначе – числовой характеристикой конечной вершины». В некоторых модификациях PATTERN допускается нарушение древовидности графа: вершина (мероприятие) может иметь более одного предка (цели, достигаемые реализацией данного мероприятия).

В общем случае последовательность действий в рамках данной комплексной системы представляется следующими этапами:

1. Формирование сценария будущего развития в виде текстового документа. Он должен содержать ту качественную информацию, на основе которой PATTERN выдаст затем количественные параметры относительной важности.

2. Дерево строится дедуктивным путем – сверху вниз.

3. На основе информации сценария с каждым уровнем дерева целей связывается совокупность оценочных критериев данного уровня с точки зрения реализации целей более высокого уровня управления. Многокритериальная оценка важности строится с использованием таблицы вида 13.

Обозначения расшифровываются так:

s_kj – коэффициент важности элемента j (вершины j) с точки зрения критерия k;

rⁱ_j – коэффициент относительной важности вершины j на уровне i с точки зрения всей совокупности критериев уровня i:

rⁱ_j = .

Оценки s_kj формируются так, что = 1, поэтому = 1.

Таблица 13.

4. Когда некоторый элемент встречается на одном и том же уровне несколько раз,, то каждый экземпляр данного элемента получит коэффициент относительной важности, равный сумме коэффициентов, рассчитанных предварительно по приведенным выше формулам для всего множества идентичных элементов.

5. С целью отображения возможного влияния одного из элементов данного уровня на другие элементы того же уровня вводится понятие «взаимной полезности» путем введения коэффициента взаимной полезности (> 1), на который умножается предварительно рассчитанный коэффициент относительной важности.

6. При необходимости возможно корректировать коэффициенты относительной важности, учитывая фактическое состояние по соответствующему элементу анализа.

7. После окончания расчета коэффициентов важности рассчитаны на всех уровнях находятся интегральные, результирующие коэффициенты относительной важности терминальных вершин. Они определяются как произведение коэффициентов относительной важности всех вершин на пути из корня в данную вершину.

Метод анализа иерархий Т. Саати

Метод анализа иерархий [28, 29] является универсальной систематической процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть любой проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений ЛПР по парным сравнениям, выражающихся затем численно. Метод включает процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений.

Метод включает следующие этапы.

1. Описание проблемной ситуации, формирование сценария будущего развития.

2. Построение иерархии целей, уровни которой перемежаются промежуточными уровнями критериев оценки вершин нижестоящего уровня с точки зрения реализации целей вышестоящего.

3. Построение множества матриц парных сравнений для каждого из нижних уровней (по одной матрице для каждого элемента примыкающего сверху уровня). Этот элемент называют направляемым по отношению к элементу, находящемуся на нижнем уровне, так как элемент нижнего уровня влияет на расположенный выше элемент. Элементы любого уровня в пределах одной окрестности сравниваются друг с другом относительно их воздействия на направляемый элемент.

Попарные сравнения производятся в терминах доминирования одного элемента над другим с использованием субъективных суждений, которые выражаются численно по шкале, представленной в таблице 14.

Если из двух сравниваемых элементов одного уровня первый элемент важнее второго по отношению к элементу вышестоящего уровня, то используется целое число из представленной шкалы, в противном случае используется обратная величина. При сравнении элемента с самим собой отношение равно единице. Отметим, что при сравнении относительной важности i -го элемента с j -м, полученное значение присваивается элементу матрицы с индексом ij. Таким образом, получаем квадратные обратно симметричные матрицы суждений, которые выражаются в числах. Для получения каждой матрицы требуется произвести (n ² – n)/2 оценок.

Таблица 14.

Шкала относительной важности

4. Вычисление собственных векторов для каждой матрицы парных сравнений.

Метод использует для представления приоритетов нормированный собственный вектор w, соответствующий наибольшему собственному значению. Задача нахождения вектора приоритетов сводится к нахождению и нормировке делением на сумму элементов вектора, удовлетворяющего уравнению:

Aw = λ _max w

Оценка компонент собственного вектора может быть произведена с помощью процедуры вычисления величины среднего геометрического из элементов каждой строки матрицы.

Известный итеративный метод приближенного вычисления собственного вектора, соответствующего максимальному собственному значению, – возводить матрицу в степени, каждая из которых представляет собой квадрат предыдущей. Строчные суммы вычисляются и нормализуются. Вычисления производятся до тех пор, пока не будет обеспечен заданный уровень точности. Уровень точности может задаваться эмпирически, исходя из общей практики проведения данного рода исследований.

Таким образом, из группы матриц парных сравнений формируется набор локальных приоритетов.

Подход, основанный на собственном векторе, использует информацию, которая содержится в любой, даже несогласованной матрице (обратносимметричная матрица A = [ a_ij ] называется согласованной, если для всех i, j, k справедливо: a_ik = a_ija_jk), и позволяет получать приоритеты, основанные на имеющейся информации, не производя арифметических преобразований данных.

5. Определение согласованности. Для каждой матрицы парных сравнений рассчитываем индекс согласованности по формуле: I = (l _max – n)/(n – 1).

Приближенное значение максимального собственного значения можно получить, произведя следующие расчеты. По каждому столбцу матрицы определяется сумма элементов. Полученные таким образом суммы представляются в виде элементов вектора-строки. Произведение этого вектора-строки на нормированный вектор-столбец приоритетов дает оценку собственного значения l _max.

Индекс согласованности показывает степень нарушения численной (кардинальной: a_ik = a_ija_jk) и транзитивной (порядковой: из a_ij > a_jk, a_jk > a_is следует: a_ij > a_is) согласованности. В общем случае, оно не должно превышать 0,1.

Полученный индекс согласованности проверяется с помощью отношения согласованности. Оно рассчитывается как отношение индекса согласованности к случайной согласованности обратносимметричной матрицы того же порядка (таблица 15). Величина отношения согласованности не должна превышать 10-20%.

Таблица 15.

Средние согласованности для случайных обратносимметричных матриц

6. Иерархический синтез приоритетов. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент:

s_j = ,

где s_j – приоритет j -го элемента иерархии; w_i – приоритет (вес) i -го критерия из набора N_j критериев, связанных с j -м элементом иерархии; V_ij – приоритет j -го элемента иерархии по i -му критерию.

Вес единственной цели самого верхнего уровня равен единице. Это дает глобальный (составной) приоритет того элемента, который затем используется для взвешивания локальных приоритетов элементов, расположенных уровнем ниже.

7. Проверка согласованности всей иерархии. Согласованность всей иерархии определяется как сумма произведений индексов согласованности на приоритеты соответствующих критериев. Отношение согласованности рассчитывается как отношение полученного таким образом индекса согласованности к случайному индексу согласованности (соответствующему размерности каждой взвешенной приоритетами матрицы) (таблица 15). Величина отношения согласованности не должна превышать 10%.

Определение глобальных приоритетов важности терминальных вершин

Решение задачи определения системных приоритетов [25], или глобальных приоритетов важности терминальных вершин (целей/мероприятий) дерева «цели-мероприятия», сводится к нахождению произведения коэффициентов относительной важности всех вершин на пути из корня в данную вершину:

q_j = ,

где q_j – глобальный коэффициент значимости j -й вершины; v_j – множество вершин, находящихся на пути от корневой вершины дерева до вершины j; k_i – локальный коэффициент значимости i -й вершины.

Метод вычисления системных приоритетов в рангах может основываться на лексикографическом упорядочении локальных приоритетов, измеренных в рангах. Известны методы вычисления системных приоритетов по локальным приоритетам, измеренным в интервальной шкале [27].

Поиск по сайту: