Методы взвешенного скользящего среднего

Общая идея этих методов заключается в том, что мы выбираем интервал сглаживания m (m<N, в предельном случае m=N, но по понятным соображениям, далее будем полагать, что m<<N) и далее по заданному заранее алгоритму рассчитываем среднее или лучше сказать взвешенное усредненное значение показателя для интервала сглаживания. Полученное при этом сглаженное значение относиться к некоторому, наперед оговоренному алгоритмом, моменту времени. При этом, как правило, точечное значение прогнозируемого показателя, на требуемый период упреждения (обычно единичный) сохраняет значение последнего среднего сглаженного уровня ряда. Следует иметь ввиду, что процедура сглаживания может осуществляться, как для интервалов четной (m=2p), так и нечетной (m=2p+1) длинны. Предельным случаем алгоритмического сглаживания является сглаживание на основе простой арифметической средней по ряду.

Обозначим исходные данные или y_t и сглаженные или или . Запишем общий вид расчетной формулы точечного прогноза для взвешенных значений временного ряда y_t:

,где

- взвешенное значение для t-го уровня ряда, .

- является весом для i-го значения интервала сглаживания при условии, что .

Обычно сглаженное значение, в зависимости от процедуры может относиться к середине интервала, к последнему моменту времени рассматриваемого интервала (т.н. адаптивное сглаживание), либо к первому моменту времени, последующему за охваченным интервалом сглаживания.

Очевидно, что при таком расчете исходный ряд укорачивается на 2p-значений. Как уже отмечалось, интервал сглаживания может содержать как четное, так и нечетное количество членов. Нечетное количество членов, если так можно сказать удобнее, так как в этом случае сглаженное значение легко сопоставляется фактическому моменту времени. Если же сглаживание производится четным интервалом (это может быть необходимым, например, при расчете среднеквартальных годовых, среднемесячных недельных и так далее), когда в силу естественных причин мы не можем выбрать нечетный интервал, тогда сглаженное значение оказывается между фактическими уровнями ряда [3]. Например, для значения t рассчитываем сглаженное значение (берем фактические уровни с t-p по t+p интервал сглаживания m=2p). В итоге получаем, что наше расчетное значение лежит между уровнями t-1 и t. Определим этот момент, как (обозначим за половину единичного такта). Тогда значение для t- го уровня находится как среднее из сглаженных значений ряда для t и t+1 уровня, то есть можно записать:

Стоит заметить, что вопрос выбора длины интервала сглаживания касается не только четности или нечетности. Величина m влияет на сглаживающие свойства модели. Далее будет показано что, чем больше m, тем сильнее модель гасит колебания. Это следует из формулы модельной дисперсии. В то же время, увеличивая интервал сглаживания, мы увеличиваем потерю данных.

Расчет весовых коэффициентов для методов скользящих средних проводится, опираясь на предположении теории аналитических функций о том, что любая гладкая функция в ограниченном интервале (в нашем случае это 2p+1 значений временного ряда) может быть представлена полиномом степени q. Т.е. в виде .

Соответственно, значения и структура весов будут зависеть от длины интервала сглаживания и степени аппроксимирующего полинома, использованного на этом интервале. Оценки коэффициентов выбранного полинома подбираются из условия минимизации суммы квадратов отклонений значения полинома и фактического значения в данной точке.

Для примера рассмотрим процедуры оценки весов для полиномов первого и второго порядков. Это соответственно метод простого скользящего среднего и метод взвешенного скользящего среднего [3].

Поиск по сайту: