Корреляционный анализ в уточнении спецификации регрессионной модели

Методы корреляционного статистического анализа хорошо известны и описаны во множестве учебников и научных работах [1, 25, 31 и др.].

Принципиальными моментами в ходе построения регрессионной модели и ее использования в прогнозировании важны ответы на вопросы о том, велика ли теснота связи между:

- независимыми переменными;

- зависимой и указанной независимой переменной;

- зависимой переменной и совокупностью независимых переменных.

Получение ответов на эти вопросы важно, прежде всего, с целью проверки исходных постулатов регрессионного анализа относительно независимости совокупности экзогенных переменных на входе ММЛР, а также для установления характера и степени взаимосвязи объясняемой и объясняющих переменных модели. Желательно, чтобы все независимые переменные были слабо связаны друг с другом (это означало бы отсутствие мультиколлинеарности рядов факторов), а с зависимой – сильно (что связано с информационными и прогностическими характеристиками модели).

Степень тесноты линейной связи между двумя переменными x_i и x_j оценивают при помощи коэффициента парной корреляции r_ij, вычисляемого по формуле:

(29).

Для зависимой переменной у и независимой x_j аналогичный коэффициент r_yx вычисляется по формуле:

. (30)

Коэффициенты r_ij объединяются в матрицу коэффициентов корреляции независимых переменных R, а r_ij - в вектор коэффициентов корреляции зависимой и независимых переменных Ry.

Фактические значения коэффициентов корреляции r_ij, как известно из теории, лежат между -1 и 1, причем возможно выделить три предельных случая, а именно:

r_ij =-1 - сильная отрицательная связь;

r_ij =0 - отсутствие связи;

r_ij =1 - сильная положительная связь.

Весь спектр промежуточных значений r_ij исследователь может интерпретировать, исходя из своих соображений. Однако для анализа неслучайности обнаруженных связей можно рекомендовать осуществить проверку коэффициентов корреляции на значимость, например с помощью статистики Стьюдента.

Матрицу коэффициентов корреляции независимых переменных R можно получить из , а вектор коэффициентов корреляции зависимой и независимых переменных Ry - из вектора . Для этого введем обозначения:

.

Числа Q_j² расположены на главной диагонали матрицы . Составим диагональную матрицу U из чисел Q_j:

Очевидно, что

Окончательно получаем, что

; (31.а)

(31.б).

Вспомнив формулу (12) становиться очевидным, что выражение оценок коэффициентов регрессии а можно получить непосредственно через коэффициенты корреляции. Таким образом, из формул (12) и (31) не трудно получить:

(32).

Введя новое обозначение b= R^-1R_{y ,} , дополнительно имеем следующий полезный факт:

или , j=1,..., m. (33).

Теснота связи зависимой переменной и совокупности независимых факторов измеряется при помощи коэффициента множественной корреляции r, вычисляемой по формуле:

(34).

Используя введенные обозначения, получим:

(35)

Вычисленное значение r используется так же, как r_ij или r_yxj. Когда значение r близко к 1, можно считать, что вариация у полностью объясняется вариацией совокупности независимых переменных, т.е. не имеет смысла учитывать какие-либо дополнительные переменные.

Величина r² называется коэффициентом детерминации (см. соотношение (29)). Ее использование аналогично r.

Поиск по сайту: