Понятие о стационарных временных рядах

Как ранее уже отмечалось реализация временного ряда (остаточного) – это выборка типа {…, y_-2, y_-1, y₀, y₁, y₂, …}. Обычно наблюдения упорядочены во времени — отсюда следует и название: временной ряд, хотя при более тщательном подходе это не всегда так.

В теории его реализация начинается в неопределенном прошлом и продолжается до неопределенного будущего, но на практике, очевидно, наблюдаемые данные - это конечное подмножество реализации временного ряда {y₁, …, y_N}, которое называют выборочной траекторией. И если бы основная вероятностная структура ряда со временем изменялась, мы были бы обречены — не было бы никакого способа точно предсказать будущее, основываясь на прошлом, потому что законы, действующие в будущем отличались бы от действующих в прошлом. Если мы хотим строить прогнозы значений временного ряда, мы как минимум желаем, чтобы его математическое ожидание и ковариация (то есть ковариация между текущими и прошлыми значениями) были постоянны во времени. В этом случае мы говорим, что рассматриваемый ряд является стационарным в широком смысле. То есть, стационарные в широком смысле временные ряды y_t характеризуются тем, что их средние значения My_t, дисперсии Dy_t и ковариации g (t) = M[(y_t - My_t)(y_t+t -Mx_t+t)] не зависят от t, для которого они вычисляются.

Стохастический процесс называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если его свойства не зависят от изменения начала отсчета времени. Иными словами, если совместное распределение вероятностей m наблюдений , сделанные в любые моменты времени , такое же, как и для m наблюдений сделанных в моменты времени [21].

Поэтому, чтобы дискретный процесс был строго стационарным, взаимное распределение любой совокупности наблюдений не должно изменяться при сдвиге всех времен наблюдений вперед или назад на любое целое число k.

Другими словами, свойства строго стационарного временного ряда не меняются при изменении начала отсчета времени.

Рассмотрим свойство стационарности временных рядов подробнее. Первое требование стационарности ряда – это постоянство среднего значения ряда во времени. Среднее значение ряда в момент t записывается как

.

Если среднее значение не изменяется с течением времени, как того требует условие стационарности, то мы можем записать

для любых t. Поскольку среднее не изменяется со временем, нет никакой необходимости помечать его индексом времени.

Вторым требованием стационарности ряда является постоянство ковариации во времени. Для отслеживания этого факта используется понятие автоковариационной функции. Автоковариация при сдвиге t -это ковариация для различных значений одного и того же временного ряда y_t и . Значение этой функции будет, конечно, зависеть от t, но может также зависеть от t, поэтому в общем случае пишут

.

Если ковариация не зависит от времени, как того требует условие стационарности, а зависит только от величины сдвига по времени t, то мы можем записать , для любого t.

Автоковариационная функция важна, потому что она отражает основное понятие циклической динамики в стационарном ряде. Исследуя автоковариационную структуру ряда, мы узнаем о ее поведении в изменяющихся условиях. Это весьма удобно сделать, исследуя график поведения автоковариации как функции от t. Обратим внимание на то, что автоковариационная функция симметричная; то есть для всех t. Как правило, мы рассматриваем только неотрицательные значения t. Симметрия отражает тот факт, что автоковариация стационарного ряда зависит только от смещения. Не имеет значения, смещаемся мы вперед или назад. Обратите внимание также, что = D (yt, yt) = D (yt).

Еще одно специальное требование стационарности – требование конечности дисперсии ряда (автоковариация при нулевом смещении ). Можно показать, что никакая автоковариация не может быть больше по модулю чем , так если < ¥, то также ведут себя и все остальные автоковариации.

Может показаться, что требования для стационарности весьма строгие и не предвещают ничего хорошего для наших прогностических моделей, почти все из которых требуют, так или иначе, стационарность. На самом деле, многие экономические, деловые, финансовые ряды и т.д. – не являются стационарными. Тенденция к росту, например, соответствует устойчиво увеличивающемуся среднему значению, а сезонность предполагает изменение среднего значения в зависимости от периода времени года. Оба случая – примеры нарушения стационарности.

Но хотя многие ряды не стационарны, часто бывает возможно работать с моделями, которые дают специальную интерпретацию нестационарным компонентам вроде тенденции и сезонности, так, чтобы циклический компонент, вероятно, оставался стационарным. Мы часто принимаем эту стратегию. Для этого с помощью простых преобразований можно привести нестационарные ряды к стационарному виду. Например, многие ряды, которые являются определенно нестационарными в абсолютных единицах (уровнях), выглядят стационарными в относительных (темпах роста). Для этого используются специальные процедуры, именуемые интегрированием динамических рядов.

Кроме того, хотя стационарность требует, чтобы средние и ковариации были устойчивыми и конечными, она не накладывает никаких ограничений на другие характеристики распределения ряда, например, асимметрию и эксцесс. По этой причине, такую стационарность часто называют стационарностью второго порядка, или слабой стационарностью. Таким образом, работаем ли мы непосредственно в уровнях и включаем специальные компоненты для нестационарных элементов наших моделей, или мы работаем на преобразованных данных типа темпов роста, предположение о стационарности не столь нереалистично, как это может показаться.

Вспомним, что корреляция между двумя случайными переменными x и у (коэффициент парной корреляции) определяется как

corr (x, y)=r_xy = .

То есть корреляция переменных x и y – это просто их ковариация, "нормализованная", или "стандартизированная", произведением стандартных отклонений x и y. И корреляция, и ковариация - меры измерения тесноты линейной связи между двумя случайными переменными. Тем не менее, корреляция часто бывает более информативна и легко интерпретируется, потому что конструкция коэффициента корреляции гарантирует, что corr(x, y) Î[-1,1], в то время как ковариация между теми же самыми двумя случайными переменными может принимать любое значение. Корреляция, кроме того, не зависит от единиц, в которых переменные x и у измерены, тогда как ковариация зависит. Вследствие лучшей интерпретируемости корреляции по сравнению с ковариацией, исследователи часто работают с корреляцией охотнее, чем с ковариацией, между y_t и y _t-t.. То есть работа с функцией автокорреляции, r(t), предпочтительней, чем с функцией автоковариации, . Функцию автокорреляции можно получить, разделив автоковариационную функцию на дисперсию

Формула для автокорреляции - это обычная формула корреляции, только для измерения тесноты взаимосвязи между членами одного и того же временного ряда, т.е. между y_t и y_t-t. Это объясняется тем, что дисперсия y_tравна , и вследствие стационарности, дисперсия y_t в любое другое время y_t-t - также . Таким образом,

.

Следует иметь в виду, что r (0) = = 1, потому что любой ряд совершенно коррелируется сам с собой. Таким образом, только значения автокорреляции при ненулевых сдвигах информируют нас относительно динамической структуры рядов.

Наконец, иногда полезной является частная автокорреляционная функция, р(t), так как р(t) - только коэффициент при y_t-t в совокупности линейной регрессии y_t на y_t-1.,…, y_t-t. Такие регрессии именуют авто- регрессиями, потому что переменная регрессирована на своих же лаговых значениях. Легко видеть, что автокорреляция и частная автокорреляция, хотя и связаны, но отличаются важным образом. Автокорреляции - только "простые" или "регулярные" корреляции между y_t и y_t-t. Частные автокорреляции, с другой стороны, измеряют тесноту взаимосвязи между y_t и y_t-t при устранении влияния промежуточных членов y_t-1,…, y_t-t+1 этого ряда; то есть они измеряют “очищенную” корреляцию между y_t и y_t-t.

Можно показать, что любой стационарный ряд должен иметь автокорреляционную и частную автокорреляционную функции, которые каким либо образом приближаются к 0 при увеличивающемся смещении.

Поиск по сайту: