Понятие оператора лагового сдвига

Оператор сдвига и связанные с ним структурные компоненты – это язык, на котором описываются прогностические модели [3, 56, 58, 69]. Оператор сдвига, обозначим его символом L, оперирует рядом, вводя в него запаздывания (лаги), так что

Ly_t = y_t-1.

Аналогично,

L²y_t = L(L(y_t)) = L(y_t-1) = y_t-2

и так далее. Однако в общем случае будем говорить, что речь идет об использовании полиномов от оператора сдвига. Полином от оператора сдвига степени m - это линейная функция различных степеней L до m -й степени

B (L) = b₀ + b₁L + b₂L² + … +b_mL^m_.

Пример полинома от оператора сдвига m-й степени, оперирующего с рядами, напрмер, L^m y_t = y_{t – m.} Хорошо известный оператор разности первого порядка D - это в действительности полином первой степени от оператора сдвига: = (1 – L)y_t = y_t – y_{t – 1.}

Например, если необходимо рассмотреть полином второй степени от оператора сдвига вида (1 + 0.78L + 0.65L²), оперирующего с рядом y_t. Эквивалентно это условие можно записать как равенство

(1 + 0.78L + 0.65L²) y_t = y_t + 0.78 y_t-1 + 0.656 y_t-2 ,

которое представляет собой взвешенную сумму, или распределенный лаг, настоящих и прошлых значений ряда y_t.

Все ранее рассмотренное относится к полиномам конечной степени. Полином бесконечного порядка можно записать так

B(L) = b₀ + b₁L + b₂L² + … = .

Таким образом, например, для представления распределенного лага текущих и прошлых возмущений бесконечного порядка, можно записать

B(L) e_t = b₀e_t + b₁e_t-1 + b₂e_t-2 + … = .

Модели, содержащие бесконечное количество распределенных лагов, занимают центральное место в моделировании и прогнозировании временных рядов. Это находит выражение в так называемой теореме Уолда [39, 61, 74].

Многие модели временных рядов не противоречат условиям стационарности. Так что, если мы знаем, что ряд стационарен, это ещё не дает четкого ответа на вопрос, какой вид модели мы можем применить для описания динамики ряда. Тренд и сезонные модели, которые мы уже изучили, здесь неприменимы, так они описывают специфические нестационарные компоненты. Исследователю необходима подходящая модель для имитации стационарных остатков динамического ряда. Теорема о представлении Уолда указывает на соответствующий вид модели.

Теорема. Пусть {y_t} будет любым стационарным процессом с нулевым средним, не содержащим никаких детерминированных компонент. Тогда этот процесс можно записать как

y_t = B(L)e_t = , где e_t ~ WN (0, s²), при b₀ = 1 и .

Иначе говоря, моделью для любого стационарного ряда является бесконечно распределенный лаг белого шума, называемый представлением Уолда. Такое представление ряда называется - общим линейным процессом. Общим, потому что любой стационарный ряд может быть записан в такой форме, а линейный, потому что представление Уолда изображает ряд в виде линейной комбинации его инноваций (т.е. его предшествующих значений).

Ввиду особой важности для прогнозирования общего линейного процесса рассмотрим его условные и безусловные моменты. Зная средние и дисперсии по ряду, мы легко можем получить его безусловные моменты, т.е. математическое ожидание ряда

М(y_t) = М = = = 0

и дисперсию ряда

D(y_t) = D = = .

Условное математическое ожидание ряда определяется как

М(y_t | W_t-1) = М(e_t | W_t-1) +b₁М(e_t-1 | W_t-1) + b₂М(e_t-2 | W_t-1) +….=

= 0 + b₁e_t-1 + b₂e_t-2 +…=

и условная дисперсия ряда

D(y_t | W_t-1) = М[ (y_t – М(y_t | W_t-1))² | W_t-1] = М(e_t ²| W_t-1) = М(e_t ²) = s².

Существенным является то, что условное среднее смещается во времени в ответ на изменение информационного пространства. Модель фиксирует изменения процесса, и изменяющееся среднее – это один из способов интегрировать эти изменения. Важная цель при моделировании временных рядов, особенно для прогнозистов, - это уловить динамику условного среднего (т.к. безусловное среднее постоянно, это один из признаков стационарности ряда), а условное среднее изменяется в ответ на эволюцию исходного информационного пространства.

Поиск по сайту: