Эконометрические модели и их оценивание

Рассмотренные ранее статистические модели представляли собой регрессии одной зависимой переменной у от одной или нескольких независимых (объясняющих) x₁,... х_m переменных. При этом прогнозные значения независимых переменных определялись вне модели. На основе этих прогнозов по уравнению регрессии вычислялся точечный прогноз значения зависимых переменных.

Однако в практике социально-экономического прогнозирования не редко возникает необходимость применения более сложных моделей, в которых рассматривается несколько переменных, значения которых невозможно спрогнозировать вне модели и независимо друг от друга. Аналог прежних независимых переменных имеет здесь название эндогенных. В число объясняющих факторов для данной эндогенной переменной входят как экзогенные, так и другие эндогенные переменные. Поведение каждой эндогенной переменной соответственно описывается одним уравнение, где она выступает в качестве зависимой. Система таких уравнений называется эконометрической моделью. Помимо регрессий в нее могут входить выражения, описывающие тренды отдельных переменных, и тождества, связывающие некоторые переменные. Однако при описании метода оценки параметров эконометрической модели мы не будем специально учитывать эти дополнения.

Эконометрические модели представляют собой результат статистического оценивания параметров системы математических выражений, которые характеризуют некоторую экономическую концепцию о взаимосвязи явлений.

Итак, все участвующие в модели переменные подразделяются на экзогенные и эндогенные переменные.

Экзогенные переменные – это переменные, задаваемые автономно, в определенной степени управляемые.

Эндогенные – это такие переменные, значения которых определяются в процессе и внутри функционирования системы под воздействием экзогенных и во взаимодействии друг с другом, В эконометрической модели они являются предметом рассмотрения и объяснения.

Существуют также предопределенные переменные, которые выступают в роли объясняющих переменных. Предопределенные переменные формируются из всех экзогенных переменных и лаговых эндогенных переменных, то есть таких переменных, значения которых входят в уравнения эконометрической системы измеренными в прошлые моменты времени, и, следовательно, являются уже известными.

Исходя из этого, можно сказать, что эконометрическая модель используется для объяснения поведения эндогенных переменных в зависимости от значений экзогенных и лаговых эндогенных переменных.

Обычно все предопределенные переменные, то есть экзогенные и лаговые эндогенные, обозначаются Х, а эндогенные переменные – Y.

Таким образом, под собственно эконометрической моделью понимается система зависимостей, часть из которой носит статистический характер (поведенческих соотношений) и записывается в виде функциональных зависимостей со случайной компонентой, в т.ч. трендовых, авторегрессионных, лаговых. Другая часть представляет собой систему тождеств или балансовых соотношений.

Общий вид функциональных соотношений эконометрической модели, ее обязательная составляющая, может быть представлен следующим образом:

где

- эндогенная переменная;

- экзогенная переменная.

Обозначим эндогенные переменные . Для i -й эндогенной переменной регрессионное уравнение имеет вид:

(1)

где K_i - подмножество эндогенных переменных;

L_i - подмножество экзогенных переменных, объясняющих yi;

коэффициенты регрессии;

u_i - случайное возмущение.

Подмножества K_i и L_i введены потому, что структура уравнений регрессий определяется представлениями исследователя о виде связей переменных, поэтому не все переменные включаются в число объясняющих. Понятно, что i Ï Kи.

В общем случае эконометрическая модель это система одновременных уравнений, т.е. набор взаимосвязанных регрессионных моделей, в которых одни и те же переменные в различных уравнениях системы могут одновременно играть роль и результирующих показателей, то есть объясняемых переменных, и объясняющих переменных [1].

Строго говоря, применить непосредственно МНК к уравнению (1) не совсем корректно, так как содержащиеся в уравнении эндогенные переменные коррелированны с отклонениями u_i и оценки будут смещены. Но в двух частных случаях применить МНК можно. Во-первых, когда в правых частях уравнений нет эндогенных переменных, т.е. система уже разрешена относительно эндогенных переменных.

Во-вторых, когда система рекурсивна, т.е. зависимая переменная предшествующего уравнения рассматривается в качестве объясняющего фактора в последующих уравнениях:

(2).

В системе (2) сначала оценивается первое уравнение. Затем во второе уравнение подставляют вычисленные по первому оценки y₁ и оценивают второе уравнение и т.д.

Вернемся к общему случаю. В уравнении (1) переменные y_i и y_k, k Î K_i относятся к одному наблюдению (если наблюдения проводятся в разные моменты времени - к одному моменту). Любые переменные y_J, " j, относящиеся к предыдущим наблюдениям (моментам времени), считаются экзогенными.

Рассмотрим с помощью простого примера последствия применения МНК для оценивания параметров системы одновременных уравнений.

Пример 1. Пусть задана система из двух уравнений, двух эндогенных переменных и трех экзогенных. Она задана в произвольном виде, в общем случае, отвечающем требованию (1). Ее называют структурной формой

Сделаем подстановку, выразив через , имеем следующий результат:

Таким образом, получим , где

; ; ; .

Очевидно, что нам удалось выразить выбранную эндогенную переменную через всю совокупность экзогенных факторов модели. Такое преобразование носит название перехода к приведенной форме эконометрической модели.

Аналогичным образом можно получить выражение для , включающее в себя три параметра - ; ; . В итоге имеем так называемую приведенную форму исходной эконометрической модели. Параметры каждой из зависимостей приведенной формы могут быть оценены с помощью МНК. Т.е. с помощью МНК могли бы получить оценки 6 параметров модели . Затем, имея 5 исходных параметров, следует найти их численные значения. Так же очевидно, что однозначно в рамках заданной системы не возможно идентифицировать и .

Ясно, что точность идентификации это отдельная проблема. При этом трудности возникают как в случае неидентифицируемости, так и сверхидентифицируемости системы.

Выход из положения, например, во втором случае: дополнительные ограничения на параметры структурной формы.

Кроме того, обратим внимание на выражение для случайной составляющей приведённой формы :

- сюда включены случайные и ;

- оно включает параметры исходной формы. Таким образом, прослеживается зависимость эндогенных переменных и .

В этой связи нетрудно убедиться в том, что:

- случайные составляющие не являются независимыми (они коррелированны);

- проявляется взаимосвязь векторами наблюдений (мультиколлинеарность).

Всё это приводит к смещённости оценок при идентификации структурной формы с помощью простого МНК. Следовательно, МНК для оценки параметров эконометрической модели можно использовать лишь в двух случаях:

когда зависит только от , т.е. имеем чистую приведённую форму эконометрической модели.

когда система рекурсивна.

В случае, когда система точно идентифицируется, параметры модели возможно оценить с помощью т.н. косвенного МНК. Использование данного метода предполагает два этапа вычислений.

На первом этапе структурная форма преобразовывается в приведённую (регрессию каждой эндогенной переменной на все экзогенные). Параметры приведенной формы оцениваются с помощью МНК.

На втором этапе полученные оценки приведённой формы обратным переходом трансформируются в параметры структурной формы.

Приведем следующий пример.

Пример 2.

Дана структурная форма эконометрической модели:

Очевидно, что система точно идентифицируется.

Приведённая форма имеет следующий вид:

Размерность данной задачи делает возможным в условиях выполнения обычных предположений Гаусса-Маркова однозначно провести оценку параметров эконометрической модели. Во многих других ситуациях исследователи сталкиваются с т.н. проблемами идентификации.

Уравнение структурной формы эконометрической модели называется точно идентифицируемым, если все участвующие в нем неизвестные (т. е. априори не заданные) коэффициенты однозначно восстанавливаются по коэффициентам приведенной формы без каких-либо ограничений на значения последних.

Эконометрическая модель называется точно идентифицируемой, если все уравнения ее структурной формы являются точно идентифицируемыми.

Уравнение структурной формы называется сверхидентифицируемым, если все участвующие в нем неизвестные коэффициенты восстанавливаются по коэффициентам приведенной формы, причем некоторые из его коэффициентов могут принимать одновременно несколько (более одного) числовых значений, соответствующих одной и той же приведенной форме.

Уравнение структурной формы называется неидентифицируемым, если хотя бы один из участвующих в нем неизвестных коэффициентов не может быть восстановлен по коэффициентам приведенной формы. Соответственно, модель неидентифицируема, если хотя бы одно из уравнений ее структурной формы является неидентифицируемым [3].

Анализ проблем возможности идентифицируемости конкретных структурных параметров системы приводит к одной из трех принципиально возможных ситуаций:

1) этот параметр может быть однозначно выражен через коэффициенты приведенной системы;

2) структурный параметр допускает несколько разных вариантов определения с помощью косвенного МНК;

3) структурный параметр не может быть выражен через параметры приведенной формы.

Идентифицируемость или неидентифицируемость системы, ее уравнений и параметров зависят только от внутренней структуры модели (числа уравнений, соотношения количеств эндогенных и предопределенных переменных в системе и в каждом уравнении, наличию эффекта мультиколлинеарности у анализируемых переменных, свойства матриц структурных коэффициентов), но никак не связаны со статистическими свойствами исходных наблюдений, например с их количеством.

Итак, для того, чтобы оценить параметры системы одновременных уравнений следует проверить условия идентифицируемости систем. Введем следующие обозначения:

, где (3)

- матрица оцениваемых коэффициентов эндогенных переменных;

- матрица оцениваемых коэффициентов предопределённых переменных (экзогенных, лаговых).

Сформулируем условия идентифицируемости:

1. Число уравнений системы (3) должно быть равно числу анализируемых эндогенных переменных; матрица должна быть невырожденной (необходимое условие).

2. Матрица наблюдений предопределенных должна иметь полный ранг , при этом очевидно, что (необходимое условие).

3. Среди исключающих априорных ограничений не должно быть одинаковых (необходимое условие).

4. Число исключённых из i-го уравнения системы предопределённых переменных должно быть не меньше числа включённых переменных, уменьшенного на 1 (необходимое условие).

5. Ранг матрицы (необходимое и достаточное условие).

В других ситуациях (система неидентифицируема либо сверхидентифицируема) используют другие методы, позволяющие снизить смещённость оценок. Например, 2МНК, 3МНК, метод наименьшего дисперсионного отношения и др. Наиболее распространен в практике эконометрического оценивания 2МНК.

Для оценки параметров эконометрической модели в общем случае применяется так называемый двухшаговый метод наименьших квадратов (2 МНК). Суть и содержание его заключается в следующем.

Работа начинается с общей формализации изучаемого процесса в виде общей структурной формы эконометрической модели. Далее осуществляют следующие действия.

1. Проверяются условия идентифицируемости модели и при необходимости вносятся корректировки в ее структуру.

2. Записывается приведенная форма модели (1). Ее параметры оценивают с помощью МНК. Далее на полученной модели проводится оценка текущих значений эндогенных переменных задачи.

3. С помощью МНК осуществляют оценку коэффициентов структурной формы модели, подставляя в качестве объясняющих переменных их прогнозные значения, полученные на предшествующем шаге, т.е. при первом использовании МНК.

Можно показать [3], что в результате такой замены фактических значений прогнозируемыми оценками, результирующие переменные являются, по крайней мере, асимптотически не коррелированны с возмущениями.

Для приведенного выше примера 1 процедура двухшагового оценивания будет выглядеть следующим образом:

1 шаг. Строим приведённую форму модели (регрессию каждой эндогенной переменной на все экзогенные):

С помощью МНК получаем регрессионные значения .

2 шаг. Используем для оценки параметров и структурную исходную форму, а также значения и , полученные на первом шаге:

Заметим, что если в структурной исходной форме нет констант, то на первом шаге их не используем. Если хотя бы в одном уравнении структурной формы они присутствуют, то идентификацию констант проводят по всем уравнениям приведённой формы.

Для вывода аналитических формул для параметров эконометрической модели введем следующие обозначения [25]. Обозначим через и те столбцы, которые входят в соответствующее уравнение для и соответственно.

Например, если имеем следующие массивы исходных статистических наблюдений:

,

то непосредственно идентификации параметров уравнения соответственно получим:

Для формализованного описания математического анализа 2 МНК введем следующие обозначения:

где Y и Х - матрицы наблюдений над эндогенными и экзогенными наблюдениями соответственно; n - число наблюдений.

Для i -й эндогенной переменной в соответствии с множествами K_i и L_i составим подматрицы Y_i и X_i; они составлены из столбцов матриц Y и X, соответствующих эндогенным и экзогенным переменным, принадлежащим множествам K_i и L_i.

Пусть мощности множеств K_i и L_i - соответственно n_i и m_i. Тогда размерность матрицы K_i - n на n_i, а матрицы Li - n на m_i. Пусть g_i и a_i - векторы коэффициентов регрессии при эндогенных и экзогенных переменных, входящих в i -е уравнение (их размерности n_i и m_i соответственно); u_i - вектор случайных возмущений. Обозначим вектор наблюдений над i -й эндогенной переменной через y_i. Тогда для исходной совокупности наблюдений над этой переменной можем записать следующее векторное уравнение:

(3)

На первом шаге метода запишем уравнение регрессии i-й эндогенной переменной на все экзогенные:

(4)

где p_i - соответствующий вектор оценок коэффициентов множественной регрессии размерности m;

u_i - вектор случайных отклонений размерности n.

Тогда общая система уравнений приведенной формы эконометрической модели в векторном виде имеет следующий вид:

Y = X П+ V, (5),

где

В соответствии со сделанными ранее замечаниями для эндогенных переменных, принадлежащих множеству K_i, часть системы (5) выглядит следующем образом:

Y_i = X П _i + V_i,

где матрицы П _i, V_i состоят из тех же столбцов матриц П и V соответственно, что и Y_i. Подставив последнее выражение в формулу (3), получим:

(6)

В скобках стоит общее выражение для случайного отклонения соответствующего уравнения.

Так как матрица П неизвестна, то на первом шаге, применяя МНК к уравнениям (4), получаем оценки по формуле (13):

или в общем матричном представлении

На основе полученных оценок П возможно произвести текущую оценку матриц экзогенных переменных и случайных, т.е. Y_i и V_i соответственно. Таким образом, имеем:

(7)

Оцененные значения подставляем в структурное уравнение (6), получим следующее:

(8)

Далее, на втором шаге метода применяем МНК к уравнениям (8), которые целесообразно представить в следующем виде:

В соответствии с формулой (13) можем получить оценки параметров a_i и g_i искомых векторов a_i и g_i:

Выразим последнюю формулу через исходные обозначения. Используя формулу (7) получим:

Окончательно имеем:

(9)

После получения оценок коэффициентов регрессии уравнений (1) прогнозирование на основе эконометрической модели осуществляют следующим образом. Сначала вне модели осуществляют прогноз значений экзогенных переменных. Затем эти прогнозные значения подставляют в уравнения (1) и решают систему этих уравнений относительно эндогенных переменных.

Следует заметить, что весь процесс спецификации и оценивания эконометрических моделей весьма кропотлив и трудоемок. Он проводится в рамках общих требований корректной идентификации отдельных уравнений множественной регрессии, рассмотренных ранее (см. п.2.4.3.2), а также дополнительных, связанных со спецификой идентификации систем

одновременных уравнений. Общая укрупненная схема исследований в процессе построения эконометрической модели приведена на рис.8.

В заключение отметим следующие соображения относительно возможности использования 2МНК с целью идентификации эконометрических моделей в форме систем одновременных уравнений.

1. На практике все методы оценивания эконометрических моделей дают смещенность оценок.

2. В условиях малых выборок предпочтительность одного метода перед другим может меняться при переходе от одной эконометрической модели к другой. На практике часто лучшие статистические и прогностические характеристики дает классический МНК. При этом следует также учесть чисто вычислительные проблемы, связанные с 2МНК, особенно при попытке оценки доверительных интервалов прогноза [].

При использовании 2МНК лаговые переменные автоматически относятся к числу объясняющих факторов модели.

Рис.8. Общая схема исследований в процессе построения эконометрической модели.

Поиск по сайту: