Экспоненциальное сглаживание Брауна

Довольно часто при исследовании временных рядов используют методы экспоненциального сглаживания (модели Брауна) [3, 25, 31, 36, 68. Это объясняется тем, что они позволяют более обоснованно и сбалансированно учитывать в текущем сглаженном уровне временного ряда его историю. Одна из основных особенностей этих методов заключается в том, для расчета сглаженного значения уровня t нам необходимо знать предыдущее сглаженное значение S_t-1 и фактическое значение временного ряда у_{t .} В практике моделирования динамических рядов используется множество разновидностей моделей Брауна. Для примера поясним принципы построения и оценки параметров модели экспоненциального сглаживания, а также использования ее в качестве генератора прогнозной информации для т.н. простой формы модели Брауна.

Запишем формулу для расчета S_t - сглаженного значения для t-го уровня ряда:

(2.3.2)

где S_t – значение экспоненциальной средней в момент t;

S_t-1 – значение экспоненциальной средней в момент t-1;

- параметр сглаживания, т.н. сглаживающий фильтр.

Величина изменяется в пределах: . Вариации имеют серьезное влияние на характеристики самого сглаживания, и выбор оптимального значения зависит сразу от нескольких из них, причем противоречащих друг другу.

Первое, что необходимо отметить в сглаживании Брауна – это принципиально другое оценивание весов предыдущих значений ряда. Если записать значение сглаженного ряда S_t и последовательно раскрывать значения S_t-1, S_t-2, …, через предыдущие уровни ряда и так до y₀=S_{0 ,} используя рекуррентное соотношение (3.2), то в итоге легко получаем следующее представление исходного соотношения:

.

В итоге получаем следующее рекуррентное соотношение для вычисления усредненного значения ряда методом Брауна:

(2.3.3),

где t в данном случае число членов ряда;

y₀ - является начальным уровнем временного ряда.

Вопрос о выборе начального уровня может быть решен несколькими путями. В первом случае, если имеются прошлые данные, то можно использовать среднюю арифметическую этих данных или их части. Если такими данными мы не располагаем, то в качестве нулевого уровня может быть использована средняя арифметическая нескольких начальных значений исходного ряда, либо просто первое значение ряда. Также начальное значение может быть оценено исходя из уже полученной формулы, из которой следует, что начальному значению после t итераций придается вес . Стоит отметить, что правильный выбор начального уровня может иметь существенное значение, так как заведомо неверное значение при небольшом количестве наблюдений может привести к большим ошибкам прогнозов. В этой ситуации можно придать большое значение и тем самым быстро погасить влияние нулевого уровня, но при большом снижаются сглаживающие свойства модели.

Рассмотрим полученную формулу (2.3.3). Допусти, что в нашем распоряжении достаточно большой временной ряд, т.е. , тогда значение второго слагаемого формулы (2.3.3) быстро стремиться к 0 за счет свойств сглаживаемого ряда. Соответственно, приближенная оценка t-го члена сглаженного ряда может быть получена из следующего соотношения:

(2.3.4),

то есть величина S_t – сглаженное значение ряда, является взвешенной суммой всех членов ряда. При этом величины весов в зависимости от того насколько далеко отстоит уровень от сглаживаемого будут убывать экспоненциально, что очевидно из соотношения (2.3.4). Вес значения уровня t составит , вес для уровня t-1 , для уровня t-2 и так далее, для y₀ соответственно - при бесконечно большом N.

Определим модельную дисперсию ряда, заданного соотношением (2.3.4).

.

Так как значение параметра сглаживания ряда динамики колеблется в пределах , то легко показать, что сглаженный ряд имеет то же математическое ожидание, что и исходный, но меньшую дисперсию . Также можно заметить, что, изменяя значение сглаживающего фильтра , мы влияем на силу сглаживания. Чем больше величина приближается к единице, тем более «актуальным» становиться ряд. Чем меньше параметр сглаживания, тем больше сокращается дисперсия исходного ряда.

Выбор величины постоянной сглаживания требует особого внимания. Рассмотрим критические значения , чтобы пронаблюдать, что будет происходить с процессом в этих крайних точках. Если взять , то получим , то есть адаптация модели отсутствует. Если принять , то получим , то есть модель, в которой сглаженное значение равно фактическому уровню временного ряда.

На практике подбор допустимого значения параметра сглаживания рекомендуется производить эмпирическим путем, то есть, итеративно перебирая его возможные значения и выбирая оптимальный уровень коэффициента по критерию минимизации дисперсии ошибки прогноза на тестовом наборе данных. Этот способ предлагается как наиболее достоверный. На выбор постоянной сглаживания будут влиять конкретные специфические характеристики временного ряда. Опыт исследователей показывает, что наибольшая точность при прогнозировании экономических временных рядов может быть достигнута при практически любом допустимом значении . Основываясь на опыте исследований [36] можно отметить, что в случае, когда параметр принимает значения близкие к 1, следует подвергнуть сомнению законность выбора данной модели. Так как это может свидетельствовать о наличии в ряду ярко выраженных тенденций или сезонных колебаний. Для таких рядов следует использовать другие модели, более эффективные. Стоит отметить, что на величину постоянной сглаживания также может оказывать влияние период упреждения. При увеличении периода прогноза, вероятно, следует учитывать общую тенденцию за прошлые периоды, нежели последние изменения.

Простое экспоненциальное сглаживание Брауна предполагает оценивание текущего значения одного коэффициента в прогнозной модели динамики временного ряда следующим образом

.

Окончательно, с учетом сделанных ранее объяснений, интервальный прогноз, проведенный методом простого экспоненциального сглаживания можно оценить следующим образом:

.

Вследствие успешности практического использования этой модели она была развита Р. Г. Брауном и Р. Ф. Майером для процессов, которые описывались моделями, состоящими из многих полиномиальных членов [3, 31, 36]. За исходную гипотезу принимается то, что временной ряд описывается полиномом N порядка, а прогноз на периодов вперед будет иметь вид:

,

где коэффициенты полинома.

Поиск по сайту: