Временных рядов

Разнообразные содержательные задачи экономического анализа требуют использования статистических данных, характеризующих исследуемые экономические процессы и развернутые во времени в форме временных рядов. При этом нередко одни и те же временные ряды используются для решения различных по постановке и содержанию проблем.

Временные ряды или, как их еще называют динамические ряды один из самых распространенных объектов изучения эконометрического анализа и прогноза. В них наиболее концентрировано отражаются изменения экономических объектов и явлений, позволяя достаточно тщательно проанализировать особенности развития. Фактически, временной ряд — это множество последовательных наблюдений, упорядоченных во времени по уровням состояния либо изменения некоторого изучаемого явления.

Таким образом, ряд наблюдений (или ), анализируемой случайной величины , произведенных в последовательные моменты времени называется временным рядом. Примем следующее обозначение, пусть – значение временного ряда в t- м такте времени, N – число наблюдений.

Определение временного ряда опирается на понятие случайной величины , зависящей от параметра t, интерпретируемого как время. То есть, по существу, речь идет об однопараметрическом семействе случайных величин .

Принципиальные отличия временного ряда от последовательности наблюдений образующих случайную выборку состоят в следующем:

- в общем случае, исходя их своей природы, члены временного ряда не являются статистически независимыми, в отличие от элементов случайной выборки;

- члены временного ряда не являются одинаково распределенными, т.е. при (по указанной выше причине).

Отмеченные нарушения в распределении элементов динамических рядов ведет к тому, что свойства, и правила статистического анализа случайной выборки не могут быть в полной мере распространены на временные ряды. С другой стороны, взаимозависимость членов временного ряда создает свою специфическую базу для построения прогнозных значений анализируемого показателя, т.е. для построения оценок для неизвестных значений по зарегистрированным значениям , где l –период упреждения прогноза.

Как правило, уровни временного ряда в экономике отражают значения какого-либо показателя на определенный момент времени (моментные наблюдения) либо за какой-то промежуток (интервальные наблюдения). Если время, через которое проводится очередное измерение величины, квантуется на равные промежутки времени (такты, шаги), то ряд называется полным дискретным рядом, если принцип равных интервалов не соблюдается – ряды именуют неполными. Примером такта полного дискретного временного ряда экономического показателя может быть день, неделя, месяц и так далее.

В дальнейшем, если не будет специально оговорено, будут рассматриваться именно полные дискретные временные ряды показателей, представленных в интервальной шкале. По форме представления информации, данные ряды могут содержать абсолютные, относительные и средние величины.

Каждый временной ряд может характеризоваться средним значением ряда, а также усредненным отклонением от него (фактическая оценка дисперсии ряда). Динамика временного ряд для некоторого экономического показателя, т.е. изменение этого показателя во времени может быть оценена абсолютным приростом, темпом роста и темпом прироста. Названные характеристики динамического ряда вычисляются при постоянной и переменной базе и называются, соответственно, базисными и цепными.

Приведем формулы для расчета показателей изменения динамического ряда.

1. Абсолютные приросты (абсолютные изменения уровней) – это разность между сравниваемым уровнем показателя и его значением в предшествующий момент времени, выбранный за базу сравнения:

базисный: ;

цепной: ;

средний: .

2. Темпы роста – отношение сравниваемого уровня показателя показателю, принятому за базу сравнения:

базисный: ;

цепной: ;

средний: .

3. Темпы прироста (относительный прирост) – это отношение абсолютного изменения к уровню базисного периода:

базисный: ;

цепной: .

Для более полной характеристики динамических рядов применяются дополнительные показатели, представленные ниже для дискретных временных рядов:

- абсолютное ускорение: - разность между абсолютным изменением заданный период и абсолютным изменением за предыдущий период той же продолжительности;

- относительное ускорение: .

Изучение прогностических возможностей моделей временных рядов - чрезвычайно важная составляющая всего инструментария экономико-математического моделирования и прогнозирования ввиду их чрезвычайной распространенности в экономике. Так как прогнозирование значений соответствующих экономических показателей на основе доступных к моменту времени t = N наблюдений временного ряда на один или несколько временных тактов вперед может явиться основой для

- обоснования стратегических решений во всех сферах бизнеса, а также государственного управления;

- планирования тенденций различных масштабов, уровня иерархии, срочности в экономике, производстве, торговле и т.д.;

- управления и оптимизации социально-экономических процессов, протекающих в обществе;

- управления важными параметрами демографических и экологических процессов;

- обоснование среднесрочных и оперативных решений в бизнесе и государственном управлении и др.

Начиная изучение особенностей модельного представления динамических рядов, мы будем исходить из того, что большинство объектов исследования, т.е. социально-экономических показателей формируется под воздействием огромного множества – главных и второстепенных, объективных и субъективных, прямых и косвенных тесно взаимосвязанных друг с другом и часто действующих в различных направлениях тенденций. Вследствие этого при анализе динамики временных рядов исходят из априорной гипотезы о наличии в них двух основных компонент: детерминированной (систематической, неслучайной) и стохастической (случайной), причем изменение последней оценивают с некоторой вероятностью.

К основным исследовательским задачам анализа временных рядов следует отнести:

- определение состава неслучайных составляющих временного ряда;

- построение удовлетворительных оценок для неслучайных функций, присутствующих в разложении;

- подбор модели, адекватно описывающей поведение случайных остатков e_t, и статистически оценить параметры этой модели.

Успешное решение перечисленных задач, является основой для достижения конечных прикладных целей исследования и, в первую очередь, для решения задачи кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда.

Таким образом, задача прогнозирования временных рядов состоит не только в выделении детерминированной части в развитии процесс, но в оценке и предсказании случайных отклонений от тенденции.

В общем случае модель временного ряда имеет следующий вид:

,

где - систематическая составляющая ряда;

- случайная составляющая ряда с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Детерминированная составляющая временного ряда в зависимости от типа факторов, под влиянием которых она формировалась. В общем случае такого рода составляющие в практике эконометрических исследований различают трех видов.

Долговременная (вековая) составляющая, формирующая общую в длительной перспективе тенденцию в изменении анализируемого признака . Обычно эта тенденция описывается с помощью той или иной неслучайной функции - как правило, монотонной. Эту функцию называют функцией тренда или просто — трендом.

Сезонная составляющая – , формирующаяся под влиянием сезонных колебаний экономического показателя в течение заданного периода времени, обычно года.

Циклическая (конъюнктурная) оставляющая – , формирующая изменения анализируемого признака в связи с действием долговременных циклов экономической, демографической или астрофизической природы (волны Кондратьева, демографические «ямы» и пики, циклы солнечной активности и т.п. [3]).

Естественно, что перечислить все факторы, которые прямо или косвенно оказывают влияние на интересующий нас показатель, мы не можем, хотя бы просто потому, что их бесконечно много. Именно с этим связывают возникновение стохастической (случайной) составляющей временного ряда, она является предметом серьезных исследований.

Очевидно, что в процессе формирования значений каждого временного ряда не обязательно участвуют одновременно факторы всех четырех типов. Однако во всех случаях предполагается непременное участие случайных (эволюционных) факторов . В научной литературе их также именуют «белым шумом», в отличие от простых остаточных компонент исследуемого ряда. В дальнейшем мы подробнее рассмотрим его свойства.

Таким образом, в самом общем виде структуру любого временного ряда можно представить в виде разложения:

(2.3.0),

где , подразумевая при этом, что единица учитывает участие j-го фактора в формировании детерминированной составляющей временного ряда ,, а нулевое значение параметра отражает факт его отсутствия.

Окончательные выводы о том, участвуют или нет факторы данного типа в формировании значений , могут базироваться как на анализе содержательной сущности задачи, т.е. быть априорно экспертными по своей природе, так и на специальном статистическом анализе исследуемого временного ряда. Состав основных этапов общей процедуры прогноза на основе моделей временных рядов можно увидеть на рис.2

В связи с этим, исходя из приведенного выше аддитивного разложения временного ряда , можно сформулировать основные этапы построения генератора прогнозной информации с целью предсказания динамики ряда социально-экономических показателей следующим образом:

- определить, какие из детерминированных составляющих присутствуют в исследуемом временном ряду;

- определить оценки параметров моделей обнаруженных во временном ряду;

- для остатков, получившихся как результат разности фактических уровней ряда и значений, моделируемых детерминированной составляющей, выбрать модель, адекватно описывающую поведение этих остатков;

- получить прогноз на построенной модели временного ряда.

Каждый из этапов предполагает трудоемкие исследования статистических данных и проверки статистических гипотез, с целью выявления в них наличия или отсутствия тех или иных свойств и обоснования выбора окончательного типа модели, позволяющей эффективно решить задачи кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда.

Рисунок 2. Состав основных этапов общей процедуры прогноза на основе
моделей временных рядов.

2.3.2. Основы тестирования временных рядов

Согласно общей методике анализа временных рядов исходным моментом в построении модели прогнозирования является определение возможности вычленения в структуре ряда его систематической составляющей и, прежде всего трендовой. В связи с этим исследователь должен определить:

a) присутствует ли во временном ряду долговременная тенденция;

b) если тенденция обнаруживается, какой характер она имеет;

c) какие дополнительные закономерности прослеживаются в динамических рядах.

Ответить сразу на все вопросы можно попытаться визуально, проанализировав графическое представление распределения изучаемого показателя во времени, например на экране дисплея компьютера. Этот способ, безусловно, привлекателен, однако также, безусловно, субъективен, так как напрямую зависит от масштаба представления информации на экране, а так же характера восприятия этой информации субъектом.

Другим вариантом является метод исчисления последовательных разностей в уровнях исследуемого ряда. Расчет ведется пока разности практически не сравняются. В этом случае порядок исчисляемых разностей принимается за степень аппроксимирующего полинома. Однако понятно, что основным недостатком названного подхода является возможность подбора кривой описываемой только лишь многочленами, что мало привлекательно для практических исследований. В некоторых случаях, при исследовании временного ряда на наличие долговременных тенденций, полезным может оказаться изучение не только абсолютного цепного прироста, но и абсолютных ускорений в ряду.

Однако наиболее распространенным в практике тестирования рядов на наличие тенденций является использование статистической проверки гипотез о неизменности тенденций по ряду. Если формулировать более строго следует проверить ряд на случайность распределения. Наиболее часто используемыми в этих целях являются: t-критерий, критерий Аббе, критерий серий, основанный на медиане выборки, критерий «восходящих» и «нисходящих» серий, смежный с последним метод Фостера-Стюарта и др [3, 31, 32, 49, 56, 70].

Проверка гипотезы о постоянстве средних значений ряда на основе t-критерия Стьюдента

Процедура проверки гипотезы о постоянстве средних значений по двум выборкам ряда определяется предположением относительно дисперсии распределения. Пусть имеются две выборки: и . Предполагаем, что они получены из одной и той же генеральной совокупности. Проверим гипотезу о равенстве средних по выборкам (иногда гипотеза формулируется, как равенства нулю разницы между средними). На практике для проверки гипотезы о двух средних нормальных генеральных совокупностей используется t-критерий Стьюдента. Однако математические выражения для вычисления t-критерия будут различны при различных гипотезах относительно имеющиеся данных о дисперсии по выборкам [3, 23, 31, 39, 40, 49 и др.].

Для общего описания проверочных и расчетных статистик введем следующие общие обозначения. Пусть

, - математические ожидания и дисперсии величины х генеральных совокупностей соответственно i=1,2;

- заданную постоянную величину;

, - выборочные средние и дисперсии;

- число степеней свободы;

n_i – величина I-й выборки;

H₀ – формулировка основной тестовой гипотезы;

H₁ – формулировка альтернативной тестовой гипотезы;

Сформулируем несколько вариантов проверочных гипотез.

Вариант 1:

Пусть - оценка и полагаем n₁=1. Вычисляем t-статистику:

,

степень свободы .

Вариант 2:

Вычисляем t-статистику:

, где

,

степень свободы

Вариант 3.

Вычисляем t-статистику:

,

степень свободы

, где

[x] – целая часть числа х, значение округлено.

Вариант 4:

никакого предположения о , .

Вычисляем t-статистику:

,

где

,

,

степень свободы .

В условиях справедливости гипотезы Н₀ статистика критерия t подчинена t-распределению Стьюдента с степенями свободы. Если , то гипотеза о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей отвергается, в противном случае гипотеза принимается.

Из приведенных выше соображения ясно, что практически всегда для исследователя необходимы дополнительные исследования свойства однородности двух выборок. Для этого чаще всего рекомендуется применять F-критерий Фишера или Кокрена.

Поиск по сайту: