 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Моделирование циклов: модели СС, АР и АРСС
При построении моделей, применяемых для прогнозирования, исследователи не могут стопроцентно рассчитывать на то, что модель будет абсолютно точной. Обычно достаточно, чтобы объект прогнозного исследования моделировался комплексно и с приемлемыми информационными характеристиками. В частности, уже было показано, что ключ к удачному моделированию временных рядов и прогнозированию – это постепенное, точное приближение к представлению Уолда. В практике эконометрического моделирования и прогнозирования временных рядов обычно рассматривают три таких приближения: модели скользящего среднего (СС), авторегрессионные модели (АР) и авторегрессионные модели со скользящими средними в остатках (АРСС).
Эти три вида моделей, несмотря на то, что являются аппроксимациями к одному и тому же представлению Уолда, имеют различия в своей специфике, хотя иногда две разного вида модели являются одинаково хорошими приближениями к виду Уолда. Однако данные модели различаются по своим возможностям фиксировать поведение автокорреляционной функции.
Определим характеристики АКФ и величин, характерных для каждой модели, учитывая, что модель значима. Проделаем это отдельно для АР, СС и АРСС моделей. Это важно для развития начального понимания свойств моделей, что необходимо для обоснованного моделирования и прогнозирования.
Для выбора лучшего вида модели прогноза циклических составляющих временных рядов рекомендуется использовать выборочную автокорреляцию и частную автокорреляцию вместе с информационным критерием Акаи (AIC) и критерием Шварца (SIC), а также последующей оценкой прогностической пригодности модели с помощью критерия Тейла [74, 80,83].
Модель скользящего среднего
Процесс скользящего среднего конечного порядка – это естественное и очевидное приближение к представлению Уолда, которое является, по сути, СС-процессом бесконечного порядка.
Понятие СС(1)-модели
Модель скользящего среднего первого порядка, или СС(1)-модель, выглядит следующим образом
yt = et + qet-1 = (1+qL) et , где et ~ WN (0, s2).
Определяющей характеристикой процесса скользящей средней в общем случае и СС(1) в частности, является то, что текущее значение наблюдения ряда можно выразить как функцию от настоящего и прошлых значений случайной составляющей ряда. Таким образом, данная модель является авторегрессионной, но не на значениях ряда, а на текущих и лаговых возмущениях в правой части уравнения.
Безусловное математическое ожидание процесса СС(1) можно определить следующим образом
Мyt = М(et) + qМ(et-1) = 0,
а безусловную дисперсию СС-процесса
D(yt) = D(et)+ q2D(et-1) = s2+ q2s2 = s2(1 + q2).
Обратите внимание, что при фиксированном значении s, возрастание модуля значения параметра q приводит к увеличению безусловной дисперсии.
Условные математическое ожидание и дисперсия процесса СС(1), где выполняется следующее условие Wt-1 = {et-1, et-2,… }, будут следующими
М(yt |Wt-1) = М((et + qet-1)|Wt-1) = М(et |Wt-1) + q М(et-1|Wt-1) = qet-1
и
D(yt |Wt-1) = М[(yt + М(yt |Wt-1))2|Wt-1] = М(et 2|Wt-1) = М(et 2) = s2.
Таким образом, условное математическое ожидание явно адаптируется к исходному информационному множеству, в отличие от безусловного математического ожидания, которое является константой. Заметьте, тем не менее, что только первый лаг случайной составляющей определяет условное математическое ожидание, более ранние значения случайной составляющей не оказывают влияние на настоящее условное математическое ожидание. Это указывает на “однопериодную память” процесса СС(1), который мы охарактеризуем через понятие АКФ.
Чтобы рассчитать АКФ для СС(1), необходимо вычислить автоковариационную функцию. Таким образом,
.
(Доказательство опускается из-за своей сложности). АКФ определяется как частное от деления автоковариационной функции на дисперсию, т.е.
.
Следует обратить внимание на то, автокорреляционная функция имеет резкий обрыв, т.е. это ступенчатая функция. Все коэффициенты автокорреляции равны 0, кроме первого, зависящего от сдвига t = 1, т.е. от порядка модели СС.
Заметьте, что условия стационарности (постоянство безусловного математического ожидания, постоянство и конечность безусловной дисперсии и зависимость АКФ только от сдвига) выполняются для любого процесса СС(1) и независимы от значения параметра. Вместе с тем, если |q| < 1, тогда можно говорить об обратимости процесса СС(1). В этом случае мы можем обратить процесс СС(1) и выразить значения ряда настоящего периода не через настоящее и прошлые значения случайной составляющей, а через текущее значение случайной составляющей и лаговые значения ряда. Это так называемое авторегрессионное представление динамического ряда. Авторегрессионное представление отличается от представления в виде процесса скользящей средней тем, что в правой части уравнения стоят текущее значение случайной составляющей и лаговые значения наблюдений ряда, в то время как в СС представлении в правой части уравнения стоят значения случайной составляющей настоящего и прошедших периодов.
Определим авторегрессионное представление как
yt = et + qet-1 , где et ~ WN (0, s2).
Отсюда текущее значение случайной составляющей
et = yt – qet-1.
Выразим последовательно все предыдущие значения случайной составляющей через прошлые значения наблюдений ряда. Это запишется следующим образом:
et-1 = yt-1 – qet-2,
et-2 = yt-2 – qet-3,
et-3 = yt-3 – qet-4
и так далее. Используя эти выражения и делая соответствующие подстановки в уравнение СС(1)-модели, окончательно можно записать следующее
yt = et + qyt-1 – q2yt-2 + q3yt-3 –….
Используя оператор сдвига, модель авторегрессии бесконечного порядка можно записать в виде
.
Заметим, что обратная подстановка используется для получения авторегрессионного представления и имеет смысл. Это является условием сходимости авторегрессионного представления – только если |q| < 1, потому что при обратной подстановке мы получаем более высокий порядок модели.
Мы также можем сформулировать условие обратимости по-другому: обратные величины модуля корней полинома от оператора сдвига СС-процесса (1+ qL) должны быть меньше единицы. Вспомните, что полином степени m имеет m корней. Поэтому полином СС(1)-процесса имеет один корень, который является решением уравнения
1 + qL = 0.
Этот корень L= -l/q, так что его обратная величина будет по модулю меньше единицы. Т.е. |q| < 1, так что условия обратимости эквивалентны. Путь “инверсных корней” для определения условий обратимости кажется утомительным, но он оказывается более применимым, чем условие |q| < 1, как мы увидим далее.
Авторегрессионное представление является более привлекательным для прогнозистов, потому что так или иначе, если модель применяется для прогнозирования событий в реальной жизни, она должна связывать настоящие наблюдения с прошлыми наблюдениями, так чтобы мы могли экстраполировать значения будущих периодов, опираясь на текущие и прошлые данные. Если судить поверхностно, СС-модели, кажется, не соответствуют этому требованию, потому что настоящее значение ряда выражено через текущее и прошлые значения случайной составляющей. Но с точки зрения условий обратимости, которые мы описали, СС-процессам соответствуют эквивалентные авторегрессионные представления.
Рассмотрим поведение ЧАКФ для процесса СС(1). Из авторегрессионного представления бесконечного порядка процесса СС(1), мы видели, что ЧАКФ постепенно убывает до нуля. Как уже было показано прежде, значения ЧАКФ – это коэффициенты при последней включенной лаговой переменной в порядке последовательной аппроксимации к авторегрессионному представлению более высокого порядка. Если q > 0, тогда пример убывающей ЧАКФ будет одним из видов затухающих колебаний; иначе говоря, затухание будет односторонним.
Для каждого процесса |q| < 1, так что авторегрессионное представление существует, и q > 0, так что коэффициенты авторегрессии разные по знаку. Конкретно, мы показали, что в общем случае авторегрессионное представление выглядит
yt = et + qyt-1 – q2yt-2 + q3yt-3 –…,
например, в случае, когда q = 0,4
yt = et + 0.4yt-1 – 0.16yt-2 + …
Если же q = 0,95, то авторегрессионное представление будет иметь вид
yt = et + 0.95yt-1 – 0.9025yt-2 + …
ЧАКФ отражает подобные угасающие колебания. Заметим, что затухание колебаний медленнее в случае, когда q = 0,95.
Понятие СС(q)-процесса
Теперь рассмотрим общий случай процесса скользящей средней конечного порядка q, что будем в дальнейшем обозначать, как СС(q). Формально вид данной модели можно представить следующим образом
yt = et + q1et-1 +…+ qqet-q = Q(L) et , где
et ~ WN (0, s2), а Q(L) = 1 + q1L + … + qqLq - - полином от оператора сдвига q-й степени.
Процесс СС(1) – это частный случай СС(q), когда q = 1. С добавлением лагов случайной составляющей в правую часть базового уравнения, СС(q)-процесс сглаживания может быть описан более динамичными моделями, которые потенциально могут быть применены для прогноза.
Свойства процесса СС(q) аналогичны свойствам процесса CC(1). Это не трудно проверить самостоятельно. Однако обратим внимание на ряд ключевых моментов, которые имеют практическое значение.
Так же как процесс СС(1) является стационарным в широком смысле при любых значениях параметров, так себя ведет и СС(q)-процесс. Подобно СС(1), СС(q) обратим только тогда, когда выполняется корневое условие. Полином от оператора сдвига процесса СС(q) имеет q корней; когда q > 1, вероятность появления комплексных корней возрастает. Условие обратимости процесса СС(q) заключается в том, что обратные величины всех корней полинома от оператора сдвига должны находится внутри единичной окружности, в этом случае мы имеем дело со сходящимся авторегрессионным представлением вида
.
Условное математическое ожидание процесса СС(q) изменяется в зависимости от объема исходного информационного множества, в отличие от безусловных моментов, которые фиксированы. По сравнению со случаем СС(1), когда условное математическое ожидание зависит от первого лага случайной составляющей, условное математическое ожидание процесса СС(q) зависит от всех q лагов стохастической компоненты. Так что СС(q)-процесс имеет потенциально более “долгую память”.
Потенциально “долгая память” процесса четко прослеживается в поведении АКФ. В случае СС(1), все значения АКФ, кроме зависящего от единичного сдвига, равны 0. В случае СС(q) все значения АКФ при сдвигах больших q равны 0. Обрыв АКФ – это отличительная характеристика процессов СС. ЧАКФ процесса СС(q), наоборот, убывает постепенно, как и в случае авторегрессионного представления; в обоих случаях убывание происходит в виде синусоиды или экспоненты, в зависимости от значения параметров.
СС(q)-процессы потенциально могут давать лучшие приближение представления Уолда, но недостаток их в том, что придется оценивать довольно много параметров. Представление Уолда включает скользящую среднюю бесконечного порядка. Процесс СС(q) аппроксимирует скользящую среднюю бесконечного порядка к скользящей средней конечного порядка
yt = Q(L)et ,
так СС(1) аппроксимирует процесс СС бесконечного порядка к СС первого порядка, который может иногда быть очень ограниченным.
Авторегрессионные модели (АР)
Авторегрессионый процесс также является естественной аппроксимацией представления Уолда. Как уже было показано, при выполнении определённых условий, процесс СС можно представить в виде авторегрессии, таким образом, авторегрессионный процесс в некотором смысле подобен процессу скользящей средней. Так же, как СС-процесс имеет следующее прямое предназначение: это просто стохастическое разностное уравнение, простая математическая модель, в которой значение показателя выражается в виде линейной комбинации конечного числа предшествующих значений этого показателя и аддитивной случайной составляющей. Стохастические разностные уравнения являются естественным инструментом для динамического моделирования в дискретном времени.
Понятие АР(1)-процесса
Модель авторегрессионного процесса первого порядка, или АР(1) имеет вид
yt = jyt-1 + et, где et ~ WN (0, s2).
Очевидно, что с помощью оператора сдвига модель можно записать следующим образом
(1 - jL)yt = et.
Определим, когда есть смысл использовать оператор сдвига. Обратите внимание, что
(1 - jL)yt = yt - jLyt = yt - jyt-1.
Так что окончательно модель имеет вид (1 - jL)yt = et, что эквивалентно записи yt - jyt-1 = et или yt = jyt-1 + et, что и требовалось.
Процесс СС конечного порядка всегда стационарен, но есть ещё и определенные условия обратимости, т.е. условия существования авторегрессионного представления. В случае с авторегрессией ситуация выглядит с точностью до наоборот. Авторегрессионные процессы всегда обратимы – в сущности, обратимость не является проблемой, так АР конечного порядка уже в авторегрессионной форме. Однако должны выполняться определенные условия, чтобы АР-процесс был стационарным.
Запишем процесс АР(1) yt = jyt-1 + et и подставим вместо лаговых эндогенных переменных лаговые значения стохастической составляющей
yt = et + jet-1 + j2et-2 +….
Используя оператор сдвига, можем окончательно записать
.
Данное представление yt через процесс СС является сходящимся тогда и только тогда, когда |j| < 1; так что условие |j| < 1 является условием стационарности в случае АР(1)-модели. Аналогично, условие стационарности можно сформулировать, как требование, соблюдения условия: обратные величины корней полинома от оператора сдвига должны быть по модулю меньше единицы.
Из представления процесса СС для задания условий стационарности процесса АР(1) можно рассчитать безусловное математическое ожидание скользящей:
М(yt) = М(et + jet-1 + j2et-2 +…) = М(et) + jМ(et-1) + j2М(et-2) + … = 0
и ее безусловную дисперсию
D(yt) = D(et + jet-1 + j2et-2 +…) = s2 + j2s2 + j4s2 +… = 
.
Условные моменты можно рассчитываться следующим образом
М(yt | yt-1) = М((jyt-1+ et) | yt-1) = jМ(yt-1 | yt-1) + М(et | yt-1) = jyt-1 +0 = jyt-1 ,
а так же
D(yt | yt-1) = D((jyt-1+ et) | yt-1) = j2D(yt-1 | yt-1) + D(et | yt-1) = 0 + s2 = s2.
Из приведенных соотношений можно заметить, что условное математическое ожидание адаптируется под изменяющееся исходное информационное множество как процесс эволюции.
Чтобы рассчитать автоковариацию, осуществим следующее. Запишем уравнение процесса авторегрессии
yt = jyt-1 + et.
Умножив обе части этого уравнения на yt-t, получим
ytyt-t = jyt-1 yt-t + et yt-t.
Для t ³ 1, беря математическое ожидание от обеих частей уравнения, получим g(t) = jg (t - 1).
Полученное выражение носит название уравнения Юла-Уокера. Это рекуррентное выражение; и если известно g(t) для любого t, уравнение Юла-Уокера дает возможность получить g(t+1). Зная g(0), начальный уровень автоковариации, мы могли бы использовать уравнение Юла-Уокера для определения всей последовательности ковариаций. Он известен, это дисперсия процесса, и находится по формуле:
.
Таким образом, имеем
,
,
и так далее. Тогда в общем случае имеем
Разделив левую и правую части полученного равенства на g(0) дает нам возможность определить коэффициенты автокорреляции процесса следующим образом
,где 
Из полученного аналитического выражения следует, что динамика АКФ носит постепенно затухающий характер, что типично для АР-процессов.
В пределе, когда величина авторегрессионного сдвига стремится к бесконечности, АКФ приближается к нулю. В частности, АКФ не обрывается до нуля, как в случае СС-процесса. Если значение j положительно, АКФ убывает экспоненциально, если отрицательно, то – в виде колебаний. Типичная ситуация в бизнесе и экономике, когда j > 0, но в обоих случаях, АКФ убывает постепенно, не резко. ЧАКФ для процесса АР(1) имеет вид ступенчатой функции и обрывается резко; значение ЧАКФ вычисляется по формуле
.
Легко понять, почему частная автокорреляционная функция резко обрывается. Значения частной автокорреляционной функции вычисляются как оценки последних коэффициентов в уравнении АР – процесса соответствующего порядка. Например, если мы имеем дело с АР(1) процессом, то ЧАФ(1) – это оценка параметра процесса авторегрессии, и все остальные значения ЧАФ при сдвигах больших единицы 1, равны нулю.
Понятие АР(р) процесса
В общем случае модель авторегрессии р -го порядка, или коротко обозначая АР(р) - модель, имеет вид
yt = j1yt-1 + j2yt-2 + … + jрyt-р + et , где et ~ WN (0, s2).
Используя оператор сдвига, модель АР(р) процесса можно записать следующим образом
Ф(L) yt = (1 – j1L - j2L2 - … - jpLp) yt = et.
Так же, как при нашем рассуждении по поводу СС(q) процесса, при рассмотрении модели АР(р) опустим математические выводы и попробуем по аналогии с АР(1) процессом интуитивно установить ее ключевые свойства.
АР(р) процесс является стационарным в широком смысле тогда и только тогда, когда обратные величины всех единичных корней характеристического полинома от оператора сдвига Ф(L) лежат внутри единичного круга. Необходимое условие стационарности в широком смысле, которое очень легко использовать в качестве проверки, - это 
. Если условие выполняется, то процесс может быть стационарным или нестационарным. Но если это условие не выполняется, то процесс не может быть стационарным.
В случае слабой стационарности мы можем записать процесс в виде модели скользящего среднего бесконечного порядка из уравнения
.
Автокорреляционная функция процесса АР(р)так же, как и для АР(1)-модели, экспоненциально убывает по мере удаления членов последовательности друг от друга во времени. Частная автокорреляционная функция процесса АР(р) резко обрывается на сдвиге р по той же причине, что и ЧАКФ АР(1)-модели при сдвиге 1.
Рассмотрим автокорреляционную функцию процесса АР(р) более высокого порядка. Несмотря на тот факт, что автокорреляционная функция произвольного порядка ведет себя так же, как и автокорреляционная функция процесса АР(1), т.е. постепенно убывает, она, тем не менее, может показать более богатый набор примеров, зависящих от порядка и параметров процесса. Она может, например, монотонно убывать, как процесс АР(1) с положительным коэффициентом, а может представляться в виде затухающих колебаний, что невозможно в случае процесса АР(1). Колебания АКФ в АР(1)-модели возможны лишь, когда коэффициент отрицательный и АКФ меняет знак при последовательных сдвигах. В АР-моделях более высокого порядка, тем не менее, значения АКФ могут колебаться с большими амплитудами, больше похожими на циклические колебания в традиционном понимании. Такая ситуация складывается, когда корни характеристического уравнения полинома от оператора сдвига комплексные.
Рассмотрим, например, процесс АР(2) подчиненный следующей зависимости
yt = 1,5yt-1 – 0,9yt-2 + et .
Соответствующий полином оператора сдвига имеет вид
1 – 1,5L + 0,9L2
и имеет два комплексных сопряженных корня: 0,83 ± 0,65i. Инверсные корни: 0,75±0,58i. Оба они хоть и близки к границам, но все же лежат внутри единичного круга. Таким образом, рассматриваемый процесс является стационарным в широком смысле. Может быть показано, что АКФ АР(2) ведет себя следующим образом
,
,
.
Используя эту формулу, мы можем легко оценить АКФ процесса.
Вернемся назад к более подробному рассмотрению фундаментального утверждения о том, что авторегрессионный процесс конечного порядка является аппроксимацией представления Уолда, которое в общем виде может иметь следующее представление
yt = B(L) et,
где B(L) полиномбесконечного порядка.
АР(1)-процесс, как и процесс СС(1), это по сути различные аппроксимации представления Уолда. Процесс скользящего среднего, связанный с АР(1)-процессом имеет вид
.
Таким образом, когда мы строим АР(1)-модель, мы используем 
‑ рациональную дробь с вырожденным числителем (полином степени 0) и знаменателем – многочленом 1-й степени, чтобы аппроксимировать B(L). Процесс скользящего среднего, связанный с АР(1)-процессом, так же как и представление Уолда бесконечного порядка, но у такого процесса не бесконечное количество коэффициентов. На самом деле, только один параметр Ф составляет основу процесса.
АР(р) - очевидное обобщение АР(1) – модели по пути приближения к представлению Уолда. Процесс скользящего среднего, связанный с АР(р)-процессом имеет вид
.
Когда строиться АР(р)-модель, чтобы аппроксимировать представление Уолда, мы используем всю ту же рациональную дробь с вырожденным числителем (полином степени 0), но знаменатель уже представляет собой многочлен более высокого порядка.
Авторегрессионные модели со скользящим средним в остатках (АРСС-модели)
Авторегрессионные и СС-модели часто комбинируют с целью получения лучших, т.е. более точных приближений к представлению Уолда, конструируя так называемые авторегрессионные модели со скользящим средним в остатках, или АРСС(р,q)-модели. Здесь значение p определяет порядок авторегрессии ряда, а q – порядок скользящего среднего остатков ряда. Как понятно АРСС-модели носят более универсальный характер, нежели АР и СС-модели, полностью сохраняя при этом свойства и возможности последних. Заметим следующее, во-первых, если случайная составляющая, которая характеризуется авторегрессионной моделью, может быть записана как процесс скользящего среднего, то ее поведение может быть описано моделью АРСС. Во-вторых, АРСС-модели могут расти вследствие применения процедур агрегации. Например, суммы авторегрессионных процессов или суммы АР и СС-процессов могут быть представлены как АРСС-процессы. И, наконец, АР-представление наблюдаемого процесса в измерении ошибки оказываются подобными АРСС-процессам.
Покажем на примере запись АРСС-процесса. Простейший АРСС-процесс - АРСС(1,1), который не является чистым АР или СС процессом, можно задать с помощью формулы
yt = jyt-1 + et + qet-1 , где
et ~ WN (0, s2),
или тоже самое с помощью оператора сдвига вида
(1 - jL)yt = (1 + qL)et,
где |j|<1 – условие стационарности процесса, а |q| < 1 – условие его обратимости.
Если условие стационарности выполняется, мы имеем дело с представлением СС в виде
,
которое является моделью распределенных лагов бесконечного порядка, включающая текущее и прошлые значения случайной составляющей. Аналогично, если выполняется условие обратимости процесса, тогда мы имеем дело с авторегрессионным представлением бесконечного порядка вида
.
АРСС(р,q)-процесс - это естественное обобщение случая АРСС(1,1), которое включает множество СС и АР лагов. В общем случае записывается процесс следующим образом
yt = j1yt-1 +…+ jрyt-р + et + q1et-1 +…+qqet-q , где
et ~ WN (0, s2)
или
F(L)yt = Q(L)et
Если инверсии всех корней полинома F(L) лежат внутри единичного круга, тогда процесс является стационарным и может быть представлен в виде сходящегося процесса СС бесконечного порядка
.
Если обратные величины всех корней полинома Q(L) лежат внутри единичного круга, тогда процесс является обратимым и может быть представлен в виде сходящегося процесса АР бесконечного порядка вида
.
Как АР и СС-процессы, АРСС-процесс имеет фиксированное безусловное математическое ожидание, но зависящее от времени условное математическое ожидание. По сравнению с чистым процессом АР или СС, ни АКФ, ни ЧАКФ АРСС-процесса не обрывается при каких-либо конкретных сдвигах. Легко показать, что обе функции убывают постепенно, ЧАКФ подобно процессу СС, а АКФ – процессу АР.
АРСС-модели аппроксимируют представление Уолда, с помощью отношения двух полиномов от операторов сдвига конечного порядка, ни один из которых не является вырожденным. Так что АРСС-модели аппроксимируют представление Уолда, с помощью отношения конечных полиномов от операторов сдвига
.
АРСС-модели, включающие оба компонента, т.е. авторегрессию и скользящее среднее, часто дают достаточно надежные аппроксимации обобщенного представления Уолда, у которого, однако, всего несколько параметров. В частном случае, например, модель АР(6) может дать такую же точную аппроксимацию, какая может быть получена с помощью модели АРСС(1,2), но в модели АР(6) шесть параметров, которые нужно оценить, а у АРСС(1,2) – всего лишь три.
Поиск по сайту: