Регрессионных моделей

Одним из альтернативных способов обоснования и построения прогноза развития сложного социально-экономического объекта является использование факторных регрессионных моделей или другими словами - линейных моделей множественной регрессии (ЛММР). Их содержательная особенность состоит в том, что в отличие от, например, моделей временных рядов нам, возможно, удастся с их помощью не только уловить особенности процесса изменения динамического ряда, но также некоторым образом выявить его причинность. Последнее обстоятельство чрезвычайно важно как с точки зрения повышения качества прогноза, по крайней мере, его информативности, так обоснования и выработки альтернативных стратегий и траекторий будущего развития объекта исследования, т.е. разработки активного прогноза.

Необходимым условием возможности построения регрессионной модели является наличие у изучаемого объекта социально-экономического прогнозирования свойства инерционности и достаточный объем фактографической (статистической) информации по объекту, представленной в общем случае в виде указанном в п.2.1

Под статистической или регрессионной моделью понимается статистическая зависимость одной переменной (зависимой, эндогенной, результирующей и т.п.) от одной или нескольких независимых (объясняющих, предопределенных, экзогенных, предикторов, регрессоров, факторов и т.п.) переменных. В общем случае такая модель записывается в виде уравнения

(1), где

y – значение зависимой переменной;

X – вектор независимых переменных;

- неслучайная составляющая (уравнение регрессии) изучаемого процесса;

– случайное отклонение (случайное возмущение) с нулевым математическим ожиданием и ковариацией , где i и j – индексы соответствующих наблюдений. Часто дополнительно на случайную компоненту накладывается условие нормальности распределения, т.е. . С учетом последнего обстоятельства говорят, что модель (1) представляет собой классическую линейную модель множественной регрессии (КЛММР).

Таким образом, в регрессионном анализе поведение результирующей переменной y с некоторой случайной погрешностью ε определяется значениями вектора объясняющих переменных X = (x₁, x₂, …, x_m)^T, выступающих в роли аргументов этой регрессии (функции). Здесь m – число факторов-аргументов, среди которых, в том числе, может присутствовать и время. Частным случаем многофакторной регрессии выступает однофакторная, или как ее чаще называют простая регрессия. Следует помнить, что в последнем случае при наличии единственного аргумента времени - t модель регрессии принимает вид трендовой зависимости со всеми вытекающими последствиями (см.п.2.3.3.2), т.е.:

y_t=f(t) + , где

f(t) - главная тенденция, тренд;

- остаточная компонента, которая в данном случае анализируется с помощью раннее описанных приемов.

Понятно, что по своей природе зависимая переменная регрессионной модели всегда является случайной. А вот характер поведения независимых переменных модели может носить как случайный, так и неслучайный характер. Это обстоятельство полностью определяется реальной природой изучаемого объекта прогноза, а также способом его измерения. Наличие либо отсутствие свойства стохастичности у аргументов функции регрессии напрямую связано как с конкретными дальнейшими модельными построениями, так, что для нас особо существенно, с теорией и практикой обоснования прогнозных значений эндогенных переменных. Так как в случае работы с детерминированными аргументами модели прогноз принимает форму безусловного, а в случае использования на входе стохастических переменных мы должны оценивать значения прогноза как условные. В дальнейшем, если не будет делаться специальных замечаний, по умолчанию объявим значения вектора аргументов X детерминированным.

Специфика поведения изучаемого объекта прогнозирования проявляется через конкретное выражение функции регрессионной зависимости, т.е. .

Хотя, безусловно, далеко не все реальные социально-экономические зависимости носят линейный характер, по ряду весьма существенных причин, о которых далее будет сказано, на практике аналитики предпочитают работать с линейными регрессиями. Их теоретическое представление, т.е. полученное на исходном материале генеральной выборки, будем представлять так:

(2),

где a=(a₀,a₁,..., a_m)^T - вектор истинных значений параметров функции регрессии задачи (1).

Уравнение линейной регрессии, полученное по выборочным данным, будем представлять следующим образом:

(3),

при этом оценку зависимой переменной модели y можно представить как

(4),

где a = (a ₀, a ₁, …, a_m)^T – вектор-столбец оцененных значений параметров модели линейной регрессии;

– модельное значение зависимой переменной y;

e = (e ₁, e ₂, …, e_n)^T – вектор оценок теоретических значений случайной составляющей , т.е. фактическая разница между расчетным значением и его наблюдаемой величиной y.

Из ранее деланных замечаний понятно, что построение точечного и интервального прогнозов на основе факторной модели невозможно без рассмотрения специфики идентификации самой модели факторной регрессии, ее особенностей.

Важнейшей предпосылкой применения статистических регрессионных моделей для прогнозирования тех или иных социально-экономических показателей (значений переменной y) является уверенность в неизменности во времени общих тенденций в развитии или механизмов порождающих соответствующие взаимосвязи между объектами.

Как ранее уже обсуждалось, процедура прогнозирования на основе эконометрических моделей в общем случае весьма объемна и содержит большое количество отдельных этапов. Общий состав главных элементов процедуры прогноза на основе КЛММР и их взаимосвязи представлен на рис. 4.

Остановимся подробнее на главных моментах, связанных с построением модели-генератора прогноза, а также правилами самого получения прогнозной информации.

Построение регрессионной модели предполагает решение двух задач. Первая заключается в выборе состава независимых переменных и класса функции f(x). Этот этап называется исходной спецификацией модели. Она подразумевает, прежде всего:

- выделение состава экзогенных переменных;

- обоснование характера возможных взаимосвязей между эндогенной и экзогенными переменными (в том числе корреляционный анализ);

- обоснование возможных трансформаций представления исходных данных;

- исходное тестирование экзогенных переменных;

		7. Выбор формы функции регрессии
		8. Решение проблемы фиктивных переменных
		9. Обоснование состава экзогенных переменных
		10. Обоснование типов связей переменных
		11. Оценка возможных трансформаций данных

да

Рисунок 4. Состав основных этапов общей процедуры прогноза на основе
множественной регрессионной модели.

обоснование возможного расширения исходных данных за счет добавления к регрессорам переменных-манекенов;

- исходное тестирование экзогенных переменных;

- выбор формы уравнения регрессии.

Данный перечень задач решается на основе формально-логического анализа взаимосвязи переменных, корреляционного анализа, анализа специальных характеристик динамических рядов (см.п.2.3.2.), с помощью соответствующих статистических тестов и т.д. Для трендовых моделей для решения этой задачи полезно применить сглаживание исходного временного ряда.

Вторая важнейшая задача на стадии построения модели, – фактическое оценивание параметров функции f(x), в частности, в случае линейной регрессии – параметров .

Методы оценивания параметров уравнения регрессии является конкретной реализацией общего принципа максимума правдоподобия. Сформулируем его следующим образом. Наилучшим описанием явления является то, которое дает наибольшую вероятность получения в результате измерений именно те значения, которые и были фактически получены. Специальные рекомендации по построению так называемой функции правдоподобия даются в зависимости от специфических характеристик распределения случайной ряда зависимой переменной.

Так, например, при нормальном или близком к нему распределении случайной ряда (т.н. распределение Гаусса), идентификация проводится непосредственно методом максимального правдоподобия либо методом наименьших квадратов (МНК). Если же, например, распределение подчинено закону Лапласа предпочтение отдается методу наименьших модулей (МНМ) и т.д.

Для оценивания параметров нормальной КЛММР можно воспользоваться методом максимального правдоподобия (ММП), который решает задачу максимизации функции правдоподобия, которую в общем виде можно представить соотношением:

,

где f (z; ) – известная функция, описывающая закон распределения вероятностей случайной величины z и зависящая от неизвестного параметра . В нашем случае функция правдоподобия:

.

Оценки параметров a = (a ₀, a ₁, …, a_m)^T, полученные ММП совпадают для нормальной КЛММР с оценками, полученными МНК. Соответственно, эти оценки обладают теми же свойствами, что и оценки МНК. Кроме того, известно, что оценки параметров КЛММР подчиняются (m +1)-мерному нормальному закону распределения вероятностей, с вектором средних значений, равных теоретическим значениям исследуемых параметров и ковариационной матрицей cov(a)= σ ²(Z^TZ)^–1.

ММП позволяет также получить оценку параметра дисперсии случайной составляющей σ ²:

.

При этом несмещенная оценка дисперсии случайной составляющей:

.

ММП-оценка дисперсии случайной составляющей состоятельна при условии, что наименьшее собственное значение матрицы Z^TZ стремится к бесконечности с неограниченным увеличением объема выборки [3].

Кроме того, известно, что случайная величина (n – m –1) s ²/ σ ² подчиняется
χ ²-распределению с (n – m –1) степенями свободы, а также что оценки a и s ² статистически независимы.

Указанные методы эффективно оценивают линейную регрессию и зависимости, сводимые к линейным. Поэтому подробно рассмотрим именно линейно-регрессионные модели.

Информацией для оценки параметров регрессии служат наблюдения над зависимыми и независимыми переменными. В i -ом наблюдении фиксируется значение зависимой переменной и совокупности независимых факторов: . Информация обо всех наблюдениях сводится в вектор Y и матрицу X вида:

; ,

где n – число наблюдений.

Суть любого метода оценки параметров линейной регрессии состоит в том, чтобы построенная гиперплоскость (2) оказалась в каком-то смысле наиболее близкой ко всем наблюдениям. В случае однофакторной линейной зависимости данную задачу можно проиллюстрировать изображением, представленным на рис. 5.

*

*

А *

ei *

*

*

Рис.5. Графическая иллюстрация восстановления модели парной регрессии.

Поиск по сайту: