Выделение сезонной составляющей временных рядов

Часто на практике встречаются процессы, носящие периодический характер и связанными с определенной циклической природой тех или иных социально-экономических явлений. После формального исключения из соответствующих исходных уровней статистического ряда уровней, определяемых общей долгосрочной тенденцией развития (тренда), исследователь в качестве материала своего изучения имеет остаток по ряду наблюдений – вектор е_t. Ранее мы полагали его случайно распределенным с известным математическим ожиданием и дисперсией (Mе_t = 0, ). Часто даже визуального наблюдения за распределением уровней ряда бывает достаточно, чтобы заметить тенденции в их разбросе, колебания относительно некого среднего уровня. В этой связи может возникнуть мысль о наличии в ряду остатков возможной зависимости от фактора времени t, которая может фактически носить как циклическую, так и сезонную природу. Однако, несмотря на различную природу такого рода явлений, на принципиальную разницу их генезиса, формально мы можем попытаться идентифицировать произвольные колебательные движения социально-экономических процессов с помощью схожего аппарата формализации, в частности, попытаться представить изучаемый ряд (для дальнейшего рассмотрения примем вновь обозначение y_t) разложением Фурье.

Пусть имеется N наблюдений над переменной Y (для упрощения дальнейших выкладок примем, что N - четное).

m – период колебаний, т.е. промежуток времени, через который наша искомая функция в точности повторит свои значения.

За исходное примем, что в N укладывается целое число (h) периодов длины m, т.е. h = N/m или N=hm. Например, если аналитик изучает динамику некоторого явления, описанного показателем Y за три года с помесячной регистрацией статистики, то в наших обозначениях это запишется следующим образом: длина наблюдаемого ряда N=36 месяца; предполагаемая длина периода m=12; целое число периодов наблюдаемой статистики h=3).

Заданную числовую последовательность Y_t можно попытаться представить в виде:

y_t = f(t) + e_t, где

e_t – случайная составляющая изучаемого ряда (Me_t = 0, );

f(t) – некоторая периодическая функция с периодом m.

Утверждение. Если числовая последовательность y₁, y₂, … y_N имеет период m, тогда эту последовательность можно представить как сумму m периодических тригонометрических функций, имеющих период m и меньше. Иначе говорят: функция f(t) разложима в ряд Фурье вида:

(2.3.7),

где j_i(t) – i-я тригонометрическая функция.

Перед тем, как провести данное преобразование, сделаем ряд замечаний, касающихся особенности представления данной функции f(t).

1). Заметим, что любой колебательный процесс можно представить в виде синусоиды общего вида:

f(t) = r sin(lt + q),

где r - амплитуда; l - частота; q - фаза.

Попытаемся без потери информативности представления несколько упростить вид исходного представления.

1. Для ликвидации начального фазового сдвига, синусоиду можно представить в виде аддитивного разложения на элементарные функции косинуса и синуса той же исходной частоты, т.е.

, где

a₁ = rcosq; a₂ = rsinq;

.

2. Рассматривая пары функций косинуса и синуса одинаковой частоты l, представим её как , где j=0, 1… - целые номера гармоники. Сами сопряженные тригонометрические функции в свою очередь примут следующий вид: , . Эти тригонометрические функции имеют период (и рабочую частоту ), в чем не трудно убедиться:

,

.

Итак, рассмотрим представленные функции (2.3.7) с учетом возможных отмеченных выше преобразований 1 и 2, а также учитывая влияние на модификацию преобразования номера текущей гармоники j:

Для первой гармоники ряда j=0 имеем:

.

Таким образом, первая пара компонент функции (2.3.7) примет вырожденный вид: j₀(t) = 1.

Далее для гармоник j=1, 2, представление компонент стандартно (всего (m-2) функций) и имеет вид:

.

Так, например, при j=1 имеем:

и т.д.

В последнюю гармонику с номером войдут функции:

Таким образом, последняя m -я пара компонент функции (2.3.7) принимает так же вырожденный вид:

j_m-1(t) = (-1)^t.

Т.о., окончательно имеем регрессию на тригонометрические функции следующего вида:

(2.3.8), где

e_t – случайная составляющая ряда (Me_t = 0, );

Нетрудно показать, что если длина периода - m нечетна, то, слагаемое функции (2.3.8) исчезает.

В результате всех преобразований мы получили линейную регрессию на элементарные тригонометрические функции синуса и косинуса, где а₀…а_m-1 – неизвестные параметры, а cos(lt) и sin(lt) – независимые вектора матрицы входных переменных задачи.

Для оценки параметров модели (2.3.8) воспользуемся известным соотношением:

(2.3.9), где

Z – расширенная матрица экзогенных переменных задачи;

Y – вектор эндогенной переменной задачи.

Для большей наглядности дальнейших преобразований полезно представлять содержательно структуру данных матрицы Z, изобразим ее на рисунке 3

. Рисунок 3. Структура расширенной матрицы экзогенных переменных Z

Для применения стандартной процедуры оценки параметров линейной регрессии (2.3.9) следует найти значения Z^TZ и Z^TY. Зная структуру матрицы экзогенных переменных Z, нетрудно заметить, что отыскание этих значений сводится к поиску значения сумм:

.

Найдем их. Для этого воспользуемся известными соотношениями для определения экспонент с комплексным аргументом:

Следствием приведенных соотношений являются известные формулы Эйлера:

Для проведения дальнейших вычислений определим сумму:

, где

Рассмотрим S₁ и S₂ (значения этих сумм зависят от соотношения значений индексов гармоник j и k). Заметим также, что сумма S может состоять из двух частей: вещественной и мнимой.

1). Пусть j¹k.

Представим S₁ в виде суммы m членов геометрической прогрессии .

Очевидно, что перед нами геометрическая прогрессия с начальным членом и таким же значением знаменателя. Следовательно, её сумму можно представить следующим образом:

(2.3.10).

В силу того, что числитель суммы (2.3.10) дроби равен 0, значение S₁=0. Аналогично, не трудно показать, что S₂=0. Следовательно, в случае, когда j¹k S=0.

2). Для ситуации одинаковых индексов гармоник j и k, при условии, что легко получаем: S₁=0; S₂=m, т.е. .

3) Если индексы гармоник равны и имеют их крайние значения, т.е. , имеем:

.

Таким образом, S=m.

Итак, окончательно получим:

Т.к. во всех случаях (1), (2), (3) значения S – вещественные, а не мнимые числа, то

Кроме того, нетрудно показать, что

.

Аналогично приведенным выше вычислениям, можем получить:

.

Все сделанные выше вычисления дают возможность легко воспользоваться формулой (2.3.9) для оценки параметров тригонометрического тренда с помощью метода наименьших квадратов. При этом промежуточные расчеты дают возможность получить следующие значения:

Таким образом, если то в окончательном виде значения вектора оценок параметров тригонометрического тренда (2.3.8) принимает следующий вид.

;

…

…

.

Проведем дисперсионный анализ результатов нашего эконометрического оценивания. Попытаемся найти ответ на вопрос о существенности, построенной регрессионной модели в целом и отдельных ее параметров.

Сформулируем основную оцениваемую гипотезу следующим образом: , альтернативную: . Таким образом, если статистическое тестирование покажет принятие нулевой гипотезы, то циклическая составляющая временного ряда может быть признана не существенной, т.е. в практике построения прогноза ей можно пренебречь.

Ранее было показано, что , где

,

,

.

С учетом того, что без потери информативности вектор эндогенной переменной в рамках рассматриваемой модели может быть центрирован с тем, чтобы , в нашем случае имеют место следующие соотношения:

, т.е. .

Проверку H₀ можно осуществить с помощью известного критерия Фишера, для этого следует сравнить значения его расчетного и критического уровней для заданной величины уровня значимости , т.е.:

и .

Если F^p > F^кр, то H₀ отвергается, т.е. циклическая составляющая существенна и результаты оценивания циклической составляющей временного ряда могут быть использованы для изучения ее прогностической пригодности.

Покажем, как можно практически оценить с учетом ранее полученных результатов оценивания сумм рядов синусов и косинусов соответствующих частот.

Отдельно оценим значения компонент полученной суммы.

;

;

Аналогично не трудно показать, что .

Таким образом, окончательно сумма квадратов отклонений циклической составляющей от средней по ряду составит:

Провести проверку на значимость отдельных коэффициентов функции циклического тренда можно, например, на базе t-критерия Стьюдента либо критерия c². Как проверить на значимость частные коэффициенты циклического тренда?

1). Проверка по t-критерию осуществляется традиционным способом, путем сравнения расчетного и критического уровней t-статистики для интересующего i-го параметра уравнения регрессии т.е., и .

2). Проверка на значимость всех коэффициентов, кроме 0-го и (m-1)-го слагаемого функции (2.3.8) может осуществляться путем оценивания существенности соответствующей j-й гармоники.

Проверка основной гипотезы Н_о: r_j=0 () проводится на основе критерия c² (; ) или критерия Фишера (; ).

Построение доверительного интервала прогноза на основе циклического тренда на заданный период t^p требует оценки дисперсии случайной по динамическому ряду y_t, а также дисперсии тренда, т.е.

1). Дисперсия случайной по динамическому ряду y_t оценивается следующим образом:

; .

2). Вычислим дисперсию прогноза по тренду:

.

С учетом полученных ранее значений оценок циклического тренда получим следующий результат:

Аналогично .

Таким образом, дисперсия модели прогнозирования может быть представлена следующим образом:

Тогда общая дисперсия ошибки прогноза примет вид:

Окончательно оценку доверительного интервала прогноза можно провести следующим образом:

.

Поиск по сайту: