Понятие белого шума в моделях динамики временных рядов

Перед тем, как оценить параметры прогностической модели временного ряда, необходимо изучить ее совокупные свойства, предполагая, что выбранная модель значима. Простейшим из такого рода процессов временного ряда является основным стандартным блоком, из которого можно получить все остальные процессы. Записать его можно следующим образом y_t = e_t, где e_t ~ (0, s²) и e_t некоррелирован во времени. В данной ситуации говорят, что e_t, и следовательно, у_t, последовательно (серийно) некоррелированны (т.е. отсутствует корреляция внутри ряда). Во всех ситуациях, если не установлено другое, мы будем полагать, что s² < ¥. Такой процесс, с нулевым математическим ожиданием, постоянной конечной дисперсией и отсутствием корреляции внутри ряда, называется белым шумом с нулевым средним, или просто белым шумом. Иногда для краткости пишут e_t ~ WN (0, s²) и следовательно у_t ~ WN (0, s²).

Следует обратить внимание, что e_t и аналогично y_t, последовательно некоррелированны, но они необязательно последовательно независимы, потому что они необязательно распределены нормально. Если в добавлении к последовательной некоррелированности у_t является и серийно независимым, тогда мы можем сказать, что у_t – это независимый белый шум. Таким образом, записывается

и говорится, что “значения у_t независимо и одинаково распределены с нулевым математическим ожиданием постоянной дисперсией”. Если в ряду у_t отсутствует корреляция и ряд распределен нормально, то из этого следует, что ряд у_t также независимо распределен. Тогда мы говорим, что у_t – это нормальный белый шум, или белый шум Гаусса: . Мы читаем “ у_t – это независимо, одинаково нормально распределенный ряд с нулевым средним и постоянной дисперсией” или просто “Гауссовский белый шум” [69].

Возмущения в регрессионной модели рассматриваются как белый шум в том или ином роде. Тем не менее, имеется одно важное различие. Возмущения в регрессионной модели не поддаются наблюдению, тогда как временные ряды наблюдаемы. Позже, тем не менее, мы увидим, как все наши модели для наблюдаемых рядов могут быть применены для не поддающихся наблюдению переменных, таких как регрессионные возмущения.

Охарактеризуем динамическую стохастическую структуру белого шума у_t ~ WN (0, s²). По построению, безусловное математическое ожидание у_t будет М(у_t) = 0, а безусловная дисперсия D (у_t) = s².

Чтобы полностью понять линейную динамическую структуру стационарного процесса временного ряда, нам требуется рассчитать и проверить его среднее значение и автоковариационную функцию. Так как белый шум, по определению, некоррелирован во времени, все автоковариации и, следовательно, все автокорреляции, равны нулю, за исключением значения, зависящего от нулевого сдвига. Формально автоковариационная функция для процесса белого шума записывается так

.

Автокорреляционная функция для этого процесса запишется следующим образом

.

Рассмотрим частную автокорреляционную функцию (ЧАКФ) для рядов содержащих белый шум. Так как АКФ при сдвиге равном 0 всегда равна 1, ЧАКФ при нулевом смещении принимает то же значение. Для белого шума, все значения ЧАКФ при больших, чем нуль, сдвигах равны нулю. Это следует опять-таки из того, что белый шум, по построению, серийно некоррелирован. Совокупные регрессии y_t на y_t-1, или на y_t-1 и y_t-2, или на другие лаги, приводит к нулевым коэффициентам, потому что процесс серийно некоррелирован. Формально, ЧАКФ процесса белого шума записывается так

.

Это снова вырожденная функция и выглядит так же как АКФ.

Из определения процесса типа «белый шум» ясно, что попытки спрогнозировать независимый белый шум, обречены на провал. Так как мы не можем сказать, что происходит с рядом, содержащим белый шум в любое время, не связанное с прошлым, и аналогично, что происходит в будущем, не связанным с настоящим или прошлым. Но понимание белого шума чрезвычайно важно как минимум по двум причинам. Во-первых, процессы с более ощутимой динамикой получаются простой трансформацией белого шума. Во-вторых, ошибки прогноза на один период вперед должны быть белым шумом. Так как, если эти ошибки не являются белым шумом, то они коррелированны, что означает, что прогностическая модель построена некорректно, а если это имеет место, то прогноз не может быть хорошим. Поэтому важно понимание и распознавание этого явления.

Таким образом, мы охарактеризовали белый шум через его среднее значение, дисперсию, АКФ и ЧАКФ. Другая характеристика динамики с важными выводами для прогнозирования, включает среднее и дисперсию процесса, обусловленные прошлой истории этого процесса. В частности, мы часто можем понять сущность динамики процесса, анализируя его условное математическое ожидание, которое является ключевым объектом для прогнозирования. Для сравнения безусловных и условных математических ожиданий и дисперсий, чтобы облегчить нашу попытку, рассмотрим пример независимого белого шума, с теми же аргументами: безусловным средним 0 и безусловной дисперсией s². Рассмотрим теперь условные среднее и дисперсию, где исходными ретроспективными данными является информационное множество W_t-1, которое по существу содержит или прошлую историю наблюдаемого ряда, т.е. W_t-1 = {…y_t-1, y_t-2,…}, или прошлую историю возмущений ряда, т.е. W_t-1 = { e_t-1, e_t-2,… }. В сравнении с безусловными средним и дисперсией, которые должны быть постоянными, согласно требованиям стационарности, условные среднее и дисперсия необязательно постоянные, и в общем случае мы должны считать их непостоянными. Для независимого белого шума условное среднее имеет вид М(y_t | W_t-1) = 0,

а условная дисперсия выглядит как

D(y_t | W_t-1) = М[(y_t – М(y_t | W_t-1))² | W_t-1] = s²_.

Условные и безусловные дисперсии и средние идентичны для рядов, содержащих белый шум. Рассматриваемый процесс не содержит динамики и, следовательно, нет динамики в условных моментах, которую можно моделировать.

Поиск по сайту: