Степенные ряды

Ряд вида:

,

где - постоянные, называется степенным.

Теорема Абеля. Если степенной ряд , при сходится(расходится) при некотором значении , то он сходится(расходится) при всяком значении .

Число называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал интервалом сходимости, если:

1) ряд абсолютно сходится, при ;

2) ряд расходится, при .

Радиус сходимости степенного ряда определяется по формулам:

1. ;

2. .

Свойства степенных рядов:

1. Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке , где , - радиус сходимости.

2. Сумма степенного ряда есть непрерывная на отрезке функция.

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке и почленно дифференцировать в интервале .

Пример. Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости: .

Решение:

Ряд сходится при , а расходится при

При , получаем ряд , применим к нему необходимый признак сходимости:

1. , т.е. . Следовательно, последовательность монотонно возрастает.

2. , т.е. общий член ряда не стремится к нулю, т.е. ряд расходится.

Аналогично, при .

Ответ: , интервал сходимости .

Поиск по сайту: