Формула Симпсона (парабол)

"В общем виде формула парабол на отрезке [x₀;x_n] выглядит следующим образом (20):

В данной формуле x₀=a, x_n=b, так как любой интеграл в общем виде выглядит: (см. формулу 18).

h можно вычислить по формуле 19.

y₀, y₁,..., y_n - это значения соответствующей функции f(x) в точках x₀, x₁,..., x_n (x_i=x_i-1+h)" [3].

На практике данный способ реализуется следующим образом:

Вычислить интеграл

по формуле парабол при n=10, используя:

5.САПР, применяемые в нефтегазодобывающей отрасли

Рассмотрим основные САПР, применяемые в нефтегазовой отрасли, и решаемые ими при этом задачи. Лидерами в этой области информационных технологий, применяемых в нефтегазовой промышленности Росии, являются компании Autodesk (AutoCAD, PlanCAD), Bentley Systems (Microstation) и Integraph. Несомненный интерес представляют разработки и российской компа-5 нии «Аскон», постепенно отвоевывающей позиции у своих матерых конкурентов.

Ниже будут рассмотрены первые две из этих компаний (как лидеры рынка) с краткой характеристикой наиболее популярных приложений, применяемых в нефтегазовой отрасли. Каждая из флагманских САПР (в данном случае, это CAD/CAM системы) этих производителей «обросла» огромным количеством дополнительных приложений и модулей, позволяющих решать любые задачи проектирования и моделирования. В силу ограниченности объема здесь будут рассмотрены только некоторые из них, наиболее интересные (с точки зрения автора) и не совсем стандартные в применении.

Кроме того, ниже дан обзор некоторых систем трехмерного проектирования и сопровождения проекта, с успехом применяемых в нефтегазовой отрасли: PLANT 4D, Aveva PDMS и Lotsia PDM PLUS. Рассмотрен порядок создания проекта на примере комплекса SmartPlant

Enterprise от компании Integraph.

Предварительно отметим, что рассматриваемые далее САПР относят к системам с трехмерным проектированием (моделированием), однако это не совсем верно. Фактически следует говорить об информационном моделировании объектов (BIM − Building Information Modeling).

При информационном моделировании в объект закладывается не только его геометрия, но и все остальные параметры, которые относятся к реальной конструкции, такие как материал, покрытие, стандарт, номер позиции и отправочной марки, название марки КМ и КМД, информация о том, с какими объектами произведено соединение, тип этого соединения и прочие. После того, как модель получена, все эти данные обрабатываются компьютером и в автоматическом режиме отражаются на чертежах, ведомостях, передаются в другие отделы предприятия. Тем самым конструктор избавляется от огромного количества рутинной работы и может сосредоточиться на главном – на конструкции, на принятии технических решений, оперируя удобным визуальным представлением будущего сооружения.

6. Линейные многофакторные модели, получаемые аппроксимацией табличных данных (методом наименьших квадратов)

Аппроксимация данных линейными многообразиями[править | править исходный текст]

Иллюстрация к знаменитой работе К. Пирсона (1901): даны точки на плоскости, — расстояние от до прямой . Ищется прямая , минимизирующая сумму

Метод главных компонент начинался с задачи наилучшей аппроксимации конечного множества точек прямыми и плоскостями (К. Пирсон, 1901). Дано конечное множество векторов . Для каждого среди всех -мерных линейных многообразий в найти такое , что сумма квадратов уклонений от минимальна:

,

где — евклидово расстояние от точки до линейного многообразия. Всякое -мерное линейное многообразие в может быть задано как множество линейных комбинаций , где параметры пробегают вещественную прямую , а — ортонормированный набор векторов

,

где евклидова норма, — евклидово скалярное произведение, или в координатной форме:

.

Решение задачи аппроксимации для даётся набором вложенных линейных многообразий , . Эти линейные многообразия определяются ортонормированным набором векторов (векторами главных компонент) и вектором . Вектор ищется, как решение задачи минимизации для :

то есть

.

Это — выборочное среднее: Фреше в 1948 году обратил внимание, что вариационное определение среднего (как точки, минимизирующей сумму квадратов расстояний до точек данных) очень удобно для построения статистики в произвольном метрическом пространстве, и построил обобщение классической статистики для общих пространств (обобщённый метод наименьших квадратов).

Векторы главных компонент могут быть найдены как решения однотипных задач оптимизации:

1) централизуем данные (вычитаем среднее): . Теперь ;

2) находим первую главную компоненту как решение задачи;

.

Если решение не единственно, то выбираем одно из них.

3) Вычитаем из данных проекцию на первую главную компоненту:

;

4) находим вторую главную компоненту как решение задачи

.

Если решение не единственно, то выбираем одно из них.

…

2k-1) Вычитаем проекцию на -ю главную компоненту (напомним, что проекции на предшествующие главные компоненты уже вычтены):

;

2k) находим k-ю главную компоненту как решение задачи:

.

Если решение не единственно, то выбираем одно из них.

…

На каждом подготовительном шаге вычитаем проекцию на предшествующую главную компоненту. Найденные векторы ортонормированы просто в результате решения описанной задачи оптимизации, однако чтобы не дать ошибкам вычисления нарушить взаимную ортогональность векторов главных компонент, можно включать в условия задачи оптимизации.

Неединственность в определении помимо тривиального произвола в выборе знака ( и решают ту же задачу) может быть более существенной и происходить, например, из условий симметрии данных. Последняя главная компонента — единичный вектор, ортогональный всем предыдущим .

Поиск по сайту: