Задача Коши. Формула Даламбера

Пусть

Задача К (Коши). Найти в области D решение уравнения

(1)

из класса , удовлетворяющее начальным условиям

, (2)

(3)

где , - заданные непрерывные достаточно гладкие функции, причем

Теорема. Если , и то решение задачи К существует и единственно.

Доказательство. Действительно, как легко проверить непосредственно, функция

(4)

где f, g - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции, является общим решением уравнения (1) и называется решением Даламбера.

В решении (4) уравнения (1) нужно выбрать функции f и g так, чтобы удовлетворить начальным условиям (2)-(3). Из начальных условий (2)-(3) и решения (4) имеем

откуда, интегрируя второе равенство, получим

(5)

где

Из равенств (5) находим

(6)

Подставляя (6) в (4), имеем

(7)

Формула (7) дает решение задачи Коши (1)-(3), если

Задача Коши (1)-(3) поставлена корректно.

Действительно, полученное решение единственно, что следует из способа вывода формулы (7). Несомненна, далее, непрерывная зависимость (7) от начальных данных. В самом деле, для любого можно указать такое , что если заменить и на и так, что , , то разность между новым решением и первоначальным будет по абсолютной величине меньше на любом конечном отрезке времени. Это утверждение легко следует из формулы (7).

Поиск по сайту: