Начально-краевые задачи для уравнения дробной диффузии. Метод интегрального преобразования Фурье

Пусть

В области рассмотрим уравнение аномальной (фрактальной) диффузии

(1)

где оператор дробного [8] интегродифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля), действующий на функцию по переменной

Задача К (Коши). Найти решение уравнения (1) в области такое, что удовлетворяющее начальному условию

(2)

где заданная непрерывная, достаточно гладкая функция, причем

Теорема 1. Если существует решение задачи Коши (1)-(2), то оно единственно.

Доказательство. Пусть и решения задачи К. Тогда решение однородной задачи К.

В имеет место тождество

которое проинтегрируем по области

Применяя формулу Грина, переходя к пределу при найдем (с учетом однородности начального условия (2) и того, что

если )

(3)

Так как

где

то

поскольку при имеем

Из того, что левая часть равенства (3) положительно определена, и в т.е. в Но и Значит, в

Теорема доказана.

Теорема 2. Решение задачи К такое, что существует, если абсолютно интегрируема на и

Поиск по сайту: