Задача Коши дифференциально-разностного уравнения диффузии дробного порядка по времени. Метод интегральных преобразований

Уравнение

, (1)

где ; ; - функция Хевисайда; - оператор дробного [8] интегродифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля), действующий на функцию по переменной t, рассмотрим в области .

Пусть , .

Задача Коши. Найти в области решение уравнения (1) такое, что , удовлетворяющее начальному условию

, (2)

где - заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем .

Теорема 1. Однородная задача Коши (1) – (2) имеет тривиальное решение.

Доказательство. В области выполняется тождество

интегрируя которое по области , применяя формулу Грина в пределе при , получим

Второй интеграл в (3) положительно определен.

Действительно, учитывая представление дробного интеграла [8] , переставляя порядок интегрирования, будем иметь

Поэтому,

Из равенства (3), в силу положительной определенности левой части, следует , в , т.е. в . Но по условию и , . Значит, в Отсюда, обращая уравнение Абеля [8], найдем в

Повторяя те же рассуждения в , получим, что в , т.е. в . Теорема доказана.

Теорема 2. Если , абсолютно интегрируема на и , то существует решение задачи Коши такое, что ; , и

(4)

где

(5)

- фундаментальное решение задачи Коши в области , а - функция Фокса [19, формула 8.3.1].

Доказательство. Будем искать решение задачи Коши в виде

. (6)

Подставляя (6) в (1)-(2), для определения придем к задаче

где

Задача (7)-(8) эквивалентно может быть записана, если воспользоваться решением [8] неоднородного уравнения (7), в виде интегрального уравнения (7) с запаздывающим аргументом

(9)

где - функция типа Миттаг-Лефлера [18].

1. Если то из (9) найдем

(10)

2.Если , то Поэтому из (9), на основании (10), получим

(11)

где

(12)

Подставляя (12) в (11), будем иметь на отрезке представление

(13)

3. Аналогично, при из (9) () с учетом (10), (13), получим

где определяется (12), а

Поэтому

4. При , найдем

(14)

где операторное обозначение действует следующим образом

.

Таким образом, решение уравнения (9), а следовательно, задачи (7)-(8) имеет вид

(15)

где имеет форму (14).

Подставляя (15) в (6), получим решение задачи Коши в виде (4), где

(16)

а

(17)

Применяя последовательно формулы [19, формулы 8.3.2.7,6],

,

,

равенство (17) приведем к виду

и потому (16) представимо в форме (5).

Непосредственно можно проверить, что полученное решение (4) принадлежит заданному классу в области и удовлетворяет условиям теоремы.

При построенное решение (4) совпадает с решением задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Замечание 1. Аналогично для уравнения (1) можно решить смешанные задачи на полупрямой и отрезке, заменив преобразование Фурье на синус –преобразование Фурье и ряд Фурье (в случае задачи на отрезке).

Замечание 2. По той же схеме можно решить задачи этого пункта для более общего уравнения дробной диффузии вида

;

причем в случае смешанных задач на полупрямой и отрезке следует оператор заменить на .

Поиск по сайту: