Начально-краевые задачи для уравнения дробной диффузии. Операторный метод

Для уравнения

(1)

где –оператор [8] дробного (в смысле Римана – Лиувилля) интегродифференцирования, действующий на функцию по переменной t, определяемый соотношением

Рассмотрим

1. Задачу (Коши) на прямой в области с начальным условием

где – заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем ;

2. Смешанную задачу в на полупрямой в области с начальным условием граничным условиям где – заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем

3. Смешанную задачу на отрезке в области с начальным условием граничным условиям , где – заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем .

Под регулярным решением задач – будем понимать функцию непрерывную в замкнутой области, имеющую непрерывные производные в открытой области, удовлетворяющую в открытой области уравнению (1), граничным условиям и при начальному условию.

Теорема 1. Если существует регулярное решение задачи (, ), то оно единственно.

Доказательство теоремы производится аналогично п. 1.3.

Теорема 2. Если функция абсолютно интегрируема на и то решение задачи (, ) существует.

Доказательство теоремы следует из того, что решение задачи (, ) в операторной форме имеет вид

(2)

где

– (3)

обобщенная функция [8] Миттаг–Леффлёра, –символ Похгаммера [19], –гамма –функция [19].

Т.к

и

то, очевидно, выражение (2) удовлетворяет уравнению (1), начальным и граничным условиям задач

Найдем интегральные представления решений (2) задач

Используя (2),(3), решение (2) запишем в форме

(4)

1. Известно [16], что любая непрерывная функция , определенная на может быть представлена в виде

(5)

где – (6)

дельта – функция [16] Дирака.

В силу (5) – (6), свойств функции [16], из (4), в случае задачи имеем

и поэтому

,

где

а – функция Фокса [19].

2. Для решения задачи следует в (4) взять

где

–

дельта – функция Дирака [20].

Тогда, аналогично задаче , получим

,

где

3. Для задачи следует в (4) взять

где –

дельта – функция Дирака [20], , которая, в силу формулы Эйлера, представима в форме

.

Тогда, аналогично задачам , , получим

,

где

Поиск по сайту: