Начально-краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений дробной диффузии. Операторный метод

Для уравнения

(1)

где ; - оператор [8] дробного (в смысле Римана - Лиувилля) интегродифференцирования, действующий на функцию по переменной , определяемый соотношением

- оператор сдвига по переменной : - функция Хевисайда, рассмотрим

1. Задачу (Коши) на прямой в области с начальным условием

(2)

где - заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем

2. Смешанную задачу на полупрямой в области с начальным условием

граничным условием где - заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем

3. Смешанную задачу на отрезке в области с начальным условием , граничными условиями где - заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем

Теорема 1. Однородная задача Коши (1)-(2) имеет тривиальное решение.

Доказательство. В области выполняется тождество

интегрируя которое по области

применяя формулу Грина [21] и условия теоремы в пределе при , получим

или (при )

(3)

Положительная определенность интеграла доказывается аналогично тому, как это сделано в §4 теоремы 1, а интеграл

т.е.

Из равенства (3), в силу положительной определенности левой части, следует , в , т.е в . Но по условию и . Значит, в . Отсюда, обращая уравнение Абеля [8], найдем в . Теорема доказана.

Теорема 2. Если функция , абсолютно интегрируема на и , то решение задачи существует.

Доказательство теоремы следует из того, что решение задачи в операторной форме имеет вид

(4)

где

(5)

обобщенная функция [23] Миттаг-Лефлера, - символ Похгаммера [19], гамма-функция [19].

Т.к.

и

то, очевидно, выражение (4) удовлетворяет уравнению (1), начальным и граничным условиям задач .

Найдем интегральные представления решений (4) задач .

Используя (4)-(5), выражение для оператора , формулу бинома Ньютона и перестановку порядка суммирования, решение (4) запишем в форме

(6)

1. Известно [16], что любая непрерывная функция , определенная на , может быть представлена в виде

(7)

где

(8)

дельта-функция [16] Дирака.

В силу (7)-(8), свойств функции [20], из (6), в случае задачи имеем

и поэтому

(9)

где

а

(10)

Для вычисления интеграла (10) воспользуемся [ ] представлением

,

где функция [19] Фокса, интегралом 2.25.2.4 и формулами 8.3.2.7, 8.3.2.6 из [19] (см. также п. 1.3 и § 4).

Тогда

2. Для решения задачи следует в (6) взять

где

дельта – функция Дирака [16].

Тогда, аналогично задаче , получим

(11)

где

а

3. Для задачи следует в (6) взять

где дельта-функция Дирака [16], , которая в силу формулы Эйлера может быть представлена в форме

Тогда, аналогично задачам , получим

(12)

где

а

При решения (9), (11), (12) задач совпадают с решениями этих же задач для уравнения теплопроводности.

Поиск по сайту: