Задача Дирихле для уравнения Лапласа в полосе, полуполосе, полуплоскости и четверти плоскости. Метод Фурье

В тех случаях, когда применение метода Фурье приводит к совокупности частных решений, непрерывно зависящих от некоторого параметра, изменяющегося в заданном промежутке, рассматриваемый вопрос относится к классу задач математической физики с непрерывным спектром. Особенность данного случая, который встречается, как правило, при рассмотрении задач для бесконечных областей, заключается в том, что искомое решение строится из найденных частных решений путем интегрирования по параметру, т.е. представляется в форме разложения в интеграл по собственным функциям. К числу наиболее простых и важных интегральных разложений, встречающихся в математической физике, относятся классическое разложение функции, заданной в промежутке (– ∞; + ∞), в интеграл Фурье и его различные модификации (разложение функции, заданной в промежутке (0, + ∞), в синус – и косинус – интеграл Фурье и другие разложения по тригонометрическим функциям), разложение функции, определенной в промежутке (0, + ∞), в интеграл Ханкеля по цилиндрическим функциям и некоторые другие разложения.

Пусть

Задача Найти в области функцию , удовлетворяющую уравнению Лапласа

(1)

граничным условиям

(2)

(3)

где - заданные непрерывные достаточно гладкие функции, причем

Задача Найти в области функцию , удовлетворяющую уравнению Лапласа (1), граничным условиям

(4)

(5)

где - заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем

Задача Найти в области функцию , удовлетворяющую уравнению Лапласа (1), граничным условиям

(6)

(7)

где - заданные непрерывные достаточно гладкие функции, причем

Задача Найти в области функцию , удовлетворяющую уравнению Лапласа (1), граничным условиям

(8)

(9)

(10)

где – заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причем

Теорема единственности решения сформулированных задач доказывается аналогично п. 1.1.

Решения поставленных задач будем искать в форме

(11)

Подставляя (11) в уравнение Лапласа (1), разделяя переменные, получаем уравнения

(12)

(13)

где

Общие решения уравнений (12) – (13) имеют вид

(14)

(15)

1. Для задачи в области частные решения, в силу (11), (14) – (15), имеют вид

(16)

= ,

где произвольные постоянные A, B, C, D являются соответствующими произведениями произвольных постоянных

Воспользуемся обобщенным принципом суперпозиции и составим интеграл

(17)

=

Считая, что интеграл (17) равномерно сходится на на основании граничных условий (2) можно записать

(18)

(19)

Известно [24], если непрерывная, абсолютно интегрируемая на функция имеет в каждой точке х конечную производную , то функция представима на интегралом Фурье, т.е. для любого выполнено равенство

т.е.

(20)

где (21)

(22)

Сравнивая (18) – (19) с (20), в силу (21) – (22), имеем

(23)

Системы (23) относительно , и , имеют единственные решения, т.к.

Имеем,

а, значит,

Аналогично,

Подставляя полученные выражения в (17), получим

(23)

искомое решение задачи в области , которое получено формально и требует обоснования: доказательства равномерной сходимости интегралов в (23) и возможность дифференцирования под знаком этих интегралов; удовлетворение уравнению Лапласа и граничным условиям.

2. Для задачи в области , учитывая исчезание на бесконечности (при , следует взять в (16) ), частные решения имеют вид

. (24)

Решение будем искать в форме

(25)

В силу граничного условия (4) имеем

.

Используя интеграл Фурье (20) – (22) для функции , найдем

,

Подставляя и в (25), найдем решение задачи в области для уравнения Лапласа в виде

(26)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция

удовлетворяет уравнению Лапласа при любом , а, следовательно, выражение (26) является решением уравнения Лапласа (1).

Убедимся в выполнении граничного условия (4).

В формуле (26) предельный переход при неприемлем. Поэтому запишем (26) в виде

Отсюда,

Замечание 1. Решение (26) задачи в области можно было получить из решения (23) задачи в области перейдя в (23) к пределу при .

Действительно,

1)

2)

Поэтому из (23) следует (26), т.е.

3. Для задачи в области , учитывая равенство решения нулю при (следует взять в (16) ), частные решения имеют вид

(27)

В силу обобщенного принципа суперпозиции, решение задачи следует искать в форме

(28)

На основании граничных условий (6) имеем

откуда, используя обратное синус-преобразование Фурье, найдем систему

для определения постоянных и

Система имеет единственное решение и потому

Значит,

Подставляя последнее выражение в (28), найдем

(29)

4. Для задачи в области , учитывая равенство решения нулю при и исчезание на бесконечности (следует взять в (16) частные решения имеют вид

(30)

Используя обобщенный принцип суперпозиции, решение задачи будем искать в форме

(31)

В силу граничного условия (8) получим

и потому

Тогда

(32)

Замечание 2. Решение (32) задачи в области можно было получить из решения (29) задачи в области перейдя в (29) к пределу при аналогично замечанию 1.

Поиск по сайту: