Начально –краевые задачи для дифференциально – разностного уравнения теплопроводности. Операторный метод

Для уравнения

(1)

где – оператор сдвига по переменной – функция Хевисайда, рассмотрим

1. Задачу (Коши) на прямой в области с начальным условием

, (2)

где – заданная достаточно гладкая функция, причем ;

2. Смешанную задачу на прямой в области с начальным условием (2), и

3. Смешанную задачу на отрезке в области с начальным условием (2), и граничными условиям

и

Под регулярным решением задач – будем понимать функцию непрерывную в замкнутой области, имеющую непрерывные производные , в открытой области, удовлетворяющих в открытой области уравнению (1), граничным условиям и при начальному условию.

Теорема 1. Однородная задача Коши (1) – (2) имеет тривиальное решение.

Доказательство. В области выполняется тождество

интегрируя, которое по области , применяя формулу Грина [21] и условия теоремы в пределе при получим

или (при )

. (3)

Т.к

и

в силу неравенства

и , то левая часть равенства (3) положительно определена. Поэтому в области , т.е в , что и требовалось доказать.

Замечание. Аналогично доказывается теорема единственности и для задач .

Теорема 2. Если функция , абсолютно интегрируема на и

, то решение задачи существует.

Доказательство теоремы следует из того, что решение задачи в операторной форме имеет вид

(4)

Найдем интегральные представления решений (4) задач .

Используя представление экспоненты в форме ряда, выражение для оператора решение (4) запишем в форме

. (5)

1. Любая непрерывная функция может быть [16] представлена на в виде

(6) где – (7)

дельта – функция Дирака [16].

В силу (6) – (7), свойств функции [ ], из (5), в случае задачи имеем

то есть

и поэтому из (5) имеем

Значит,

, (8)

где ­– (9)

функция Грина задачи

Равенство (8) является искомым решением задачи в области , что проверяется непосредственно.

При получаем из (8) решение задачи для однородного уравнения теплопроводности без слагаемого с запаздывающим аргументом.

2. Для решения задачи следует в (5) взять

где –

дельта – функция Дирака [20].

Тогда, аналогично задаче , получим

,

где – функция Грина или фундаментальное решение задачи в области .

3. Для задачи следует в (5) взять

где –

дельта – функция Дирака [20], , которая в силу формулы Эйлера может быть представлена в виде

.

Тогда, аналогично задачам , , получим

,

где

,

а .

Поиск по сайту: