Задача Дирихле для полосы, полуполосы и прямоугольника. Метод общего решения

Для уравнения Лапласа

(1)

рассмотрим

1. Задачу Дирихле в области , когда , удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям

(2)

(3)

где - заданные непрерывные достаточно гладкие функции, причем

2. Задачу Дирихле в области когда , удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям

(4)

(5)

где - заданные непрерывные достаточно гладкие функции, причем

3. Задачу Дирихле в области когда , удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям

(6)

(7)

где - заданные непрерывные достаточно гладкие функции, причем

Теорема единственности решения сформулированных задач доказывается аналогично п. 1.1.

Решения поставленных задач будем искать с помощью непосредственно проверяемого общего решения уравнения (1) вида

(8)

где - дважды непрерывно дифференцируемые произвольные функции, а - оператор сдвига переменной : причем - тождественный оператор:

Подставляя (8) в граничные условия (2) или (4), или (6), получим для определения систему

(9)

которая имеет единственное решение, т.к.

Из первого уравнения системы (9) найдем

(10)

С помощью (10) из второго уравнения системы (9), получим

или

(11)

Действуя на (11) оператором , для определения придем к разностному уравнению

(12)

где

(13)

Используя метод последовательных приближений, из (12) будем иметь

или, с учетом (13),

(14)

Поэтому, согласно (10),

(15)

Подставляя (14) – (15) в (8) получим искомое решение

(16)

Ряд (16) равномерно сходится и его можно почленно дифференцировать, если абсолютно интегрируемана I, т.е. представимы в форме интеграла Фурье (I – промежуток определения функций).

На этом основано получение интегральной формы решения (16).

1. Известно [16], что любая непрерывная функция , определенная на , удовлетворяющая условиям представимости в форме интеграла Фурье может быть записана в виде

(17)

где (18)

дельта-функция [16] Дирака.

В силу (17) – (18), свойств функции [20], из (16), в случае задачи имеем

=

=

Аналогично можно получить интегральное представление для второго слагаемого из (16).

Поэтому решение задачи для уравнения Лапласа (1) в области D ₁, в интегральной форме будет иметь вид

(19)

2. Для получения решения задачи Дирихле в интегральной форме следует в (16) взять

где

(21)

дельта-функция Дирака [20].

Тогда, аналогично задаче , получим из (16) интегральное представление решения задачи в виде

(22)

3. Для задачи следует в (16) взять

(23)

где

дельта-функция Дирака [16], которая, в силу формулы Эйлера, представима в виде

(24)

Тогда, аналогично задачам , , из (16), в силу (23) – (24), получим

Аналогично

Замечание 1.

Для уравнения Лапласа (1)

(25)

где , учитывая корни характеристического уравнения относительно переменной у, можно записать общее решение в форме

(26)

в котором - произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Учтем в (26) граничные условия (2) или (4), или (6). Тогда

(27)

т.е.

(28)

На основании (27)-(28) из (26) получаем искомые решения задач , , в операторной форме

(29)

Учтем в (29) формулу [, 5.4.12.4]

(30)

получим

(31)

Если функции представимы интегралом Фурье, то можно показать, что, например,

(32)

Поэтому из (31), на основании (32), получаем

что совпадает с (16).

Интегральное представление решений задач , , можно получить из последнего равенства аналогично предыдущему или из (31).

§2. Задача Дирихле в полуплоскости для дифференциально-разностного уравнения эллиптического типа с отражением. Метод Фурье.

Уравнение

(1)

– функция Хевисайда [, с.283], рассмотрим в области .

Пусть , где .

Задача G. Найти в области D решение U(x,y) уравнения (1) из класса , удовлетворяющее условиям

(2)

(3)

где – заданная непрерывная достаточно гладкая функция, причём

Задачу G для уравнения (1) с условиями (2)-(3) переформулируем в терминах функций

(4)

когда

Для этого, используя инволюцию аргумента , запишем уравнение (1) в виде

(5)

В силу (4), на основании (1), (5), (2), (3) получена

Задача G_i (i=1,2). Найти в области решение уравнения

(6_i)

из класса , удовлетворяющее условиям

(7_i)

(8_i)

где – заданные непрерывные достаточно гладкие функции, причём

Рассмотрим задачу G₁ для уравнения (6₁) при выполнении условий (7₁)-(8₁).

Теорема 1. Однородная задача G₁ имеет тривиальное решение.

Доказательство следует из тождества

, ,

интегрируя которое по области , применяя формулу Грина [24, c.539], однородность условий (7₁)-(8₁), в пределе при , получим

т.е.

, (9)

где

(10)

т.е.

Значит, из (9), (10), имеем

,

т.е.

Из (11) следует, что т.е. в Но по условию задачи и в Теорема доказана.

Теорема 2. Если абсолютно интегрируема на и то существует решение задачи G₁.

Поиск по сайту: