Начально-краевые задачи для уравнения дробной диффузии с непрерывно распределённым запаздыванием. Метод Фурье

В области рассмотрим уравнение

, (1)

где ; – заданная ограниченная непрерывная функция;

-оператор дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегродифферен-цирования, действующий на функцию по переменной , определяемый [8] соотношениями

,

а – гамма-функция.

Решение уравнения (1) будем называть регулярным в области , если , .

Пусть

Задача . Найти в области регулярное решение уравнения (1), удовлетворяющее начально-краевым условиям

(2)

(3)

(4)

где - заданная непрерывная, достаточно гладкая функция, причём .

Теорема 1. Однородная задача (1)-(4) имеет в области тривиальное решение.

Доказательство. Действительно, в области выполняется тождество

,

интегрируя которое по области

используя формулу Грина [21], однородность начальных и краевых условий, регулярность решения задачи , в пределе при , получим

или (при )

(5)

В силу непрерывности и ограниченности функции на ,

имеем

где

Кроме того, интеграл

положительно определён, поскольку, в силу убывания и положительности функции , интегрируемости по переменной на , по второй теореме о среднем значении [25] интеграла можно записать

а положительная определённость доказывается аналогично [26] (см. §3).

Таким образом, из (5) при что, очевидно, выполняется при соответствующем выборе а, имеем

Отсюда, и потому, в частности, в и, очевидно, в .

Значит, всюду в области .

Поиск по сайту: