 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Задача Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике. Метод Гринберга
Метод Гринберга, или метод конечных интегральных преобразований, является обобщением метода Фурье на случай неоднородного уравнения и неоднородных граничных условий.
Пусть 
Задача D. Найти в области D решение U(x,y) уравнения Пуассона
(1)
из класса 
удовлетворяющее граничным условиям
(2)
(3)
Где 
- заданные непрерывные достаточно гладкие функции, причем 
Теорема единственности, доказывающая аналогичную п.1.1.
Будем искать решение задачи (1)-(3) в виде
(4)
где 
- собственные функции и собственные значения задачи Штурма-Лиувилля
(5)
а
(6)
т.к.
Умножим уравнение (1) на 
и интегрируем по отрезку [0;a]:
(7)
Интегрируя два раза по частям в первом интеграле равенства (7), учитывая граничные условия (2), уравнение и условия из (5), получим 
Поэтому выражение (7) можно записать в форме
(8)
где
(9)
а
(10)
Умножим граничные условия (3) на и интегрируя по отрезку [0,a], получим граничные условия по y для уравнения (8):
(11)
Общее решение однородного уравнения (8) имеет вид
, (12)
где 
- произвольные постоянные.
Для нахождения частного решения (8) применим метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Будем искать частное решение неоднородного уравнения (8) в форме (12), т.е.
, (13)
где - неизвестные переменные коэффициенты, для нахождения которых имеем систему
которая, в силу того, что
имеет единственное решение
т.е.
Подставляя найденные коэффициенты в (13), после преобразований, получим частное решение уравнения (8)
которое вместе с (12) приводит к общему решению уравнения (8), т.е.
(14)
Учтем в (14) условия (11). Получим
Подставляя коэффициенты 
и 
в (14), найдем решение задачи (8), (11) в виде
т.е.
, (15)
где
(16)
функция Грина задачи (8), (11).
Подставляя (15) в (6), из (4) найдем
Учтем в (17) представления (9)-(11).
Тогда
или
(18)
где
функция Грина задачи Дирихле для прямоугольника, причем
Формула (18) решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике совпадает без последнего интеграла с формулой решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике (см.п.1.1).
Поиск по сайту: