Задача для уравнения фрактальной диффузии с запаздывающим аргументом по времени. Метод интегральных преобразований

В случае аномальной диффузии градиент (производная по координате) становится фрактальным. Величина потока в данный момент времени начинает зависеть не только от поведения концентрации в этот момент, но и от ее предыстории [22].

Исследуем диффузионный процесс, происходящий в средах с фрактальной геометрией. В качестве модельного уравнения в области рассматривается уравнение.

, (1)

где ; ; -функция Хевисайда; - оператор дробного [8] интегродифференцирования (в смысле Римана-Лиувилля), действующий на функцию по переменной

.

Пусть , .

Задача A. Найти решение уравнения (1) в области такое, что , удовлетворяющее начальному условию

(2)

где - заданная непрерывная достаточно гладкая функция.

Теорема 1. Если существует решение задачи А, то оно единственно.

Доказательство. Пусть и - решения задачи А. Тогда - решение однородной задачи А.

В имеет место тождество

которое проинтегрируем по области

Применяя формулу Грина, переходя к пределу при , найдем (с учетом однородности начального условия и , если

(3)

Так как

,

где ,

то

= =

= ,

поскольку при имеем

Из того, что левая часть равенства (3) положительно определена, и в , т.е. в . Но и . Значит, в .

Аналогичные рассуждения в области , приводят к тому, что в ,т.е. в .

Теорема доказана.

Теорема 2. Решение задачи А, такое, что , , существует, если , абсолютно интегрируема на и .

Доказательство. Воспользуемся для решения задачи А интегральным преобразованием Фурье.

Пусть

(4)

где - неизвестная амплитуда Фурье.

Так как

то

.

Поэтому из (1)-(2), на основании (4), для определения приходим к задаче

(5)

где

.

Решение [7] задачи (5) имеет вид

(6)

где

. (7)

Используя соответственно формулы

,

где - функция типа Миттаг-Лефлёра [18], а - функция Фокса [19], выражение (7) можно записать в форме

.

Подставляя (6) в (4), найдем решение задачи А в виде

(8)

где

,

а - фундаментальное решение задачи А в области , которое имеет представление

,

причем

Обоснование решения проводится непосредственно.

В случае найденное решение совпадает с решением задачи Коши для уравнения теплопроводности.

Замечание. Аналогично для уравнения (1) можно решить смешанные задачи на полупрямой и отрезке, заменив оператор на , а преобразование Фурье на синус-преобразование Фурье и ряд Фурье (в случае задачи на отрезке).

Поиск по сайту: