Теорема доказана. Теорема 2. Если - ограниченная и непрерывная функция на , функция имеет непрерывную производную первого порядка и кусочно-неп

Теорема 2. Если - ограниченная и непрерывная функция на , функция имеет непрерывную производную первого порядка и кусочно-непрерывную производную второго порядка на , причём , то существует регулярное решение задачи (1)-(4), определяемое равенством

(6)

где

(7)

фундаментальное решение задачи , , а

, (8)

если

(9)

причём

, (10) - обобщённая функция [23] Миттаг-Леффлера, определяемая рядом

(11)

– символ Похгаммера [13] и

(12)

функция Миттаг-Леффлера [23].

Доказательство. Для построения решения задачи воспользуемся методом Фурье и будем искать в форме ряда Фурье по собственным функциям , т.е. в виде

(13)

где

(14)

а - функция, подлежащая определению.

Разложимость начальной функции в ряд Фурье по синусам

(15)

является необходимым условием разрешимости задачи в классе функций, представимых в виде ряда (13).

Представление (15) имеет место тогда и только тогда, когда непрерывно дифференцируема, имеет кусочно-непрерывную производную второго порядка, и коэффициенты Фурье С_n определены равенством (14).

Считая, что ряд (13) равномерно сходится, когда и равномерно сходятся в ряды, полученные двукратным дифференцированием по и взятием по дробной производной порядка , подставляя (13) в (1)-(4), для определения придём к задаче

Найдём решение задачи (16)-(18), используя интегральное преобразование Лапласа [12].

Пусть и -функции - оригиналы, имеющие по Лапласу [12] изображения , причём для свёртки оригиналов

а

т.к.

Применяя к уравнению(16) преобразование Лапласа, учитывая (18), получим операторное уравнение

которое даёт операторное решение

т.к. в силу ограниченности и достаточно больших .

Используя теорему [12] об умножении изображений (свёртке оригиналов), найдём

(19)

где определяется равенствами (9) при , т.к.

…,

Далее, дифференцируя соотношение

по параметру , учитывая [ ], что

получим

(20)

.

Замечание 1. Оригиналы (20) для изображений можно [23] найти, используя теорему [12] о произведении изображений (свёртке оригиналов):

.

Таким образом, для изображения операторного решения задачи (16)-(18), на основании (19)-(20) имеем оригинал (8), т.е.

(21)

Ряд (21) сходится при любых , т.к., на основании оценки , которая получается из соотношения (9), использования представления (11) для обобщённой функции Миттаг-Леффлера, формулы [23] бета-функции

и того, что

он мажорируется рядом

(22)

Имеет место [18,с.136].

Лемма 1. Пусть , - действительная постоянная и - фиксированное число из интервала

Тогда справедливы следующие оценки:

1. Если , то

(23)

2. Если , то

(24)

где и – постоянные, не зависящие от .

В нашем случае и, согласно (23)-(24), мажорантный ряд (22) сходится при всех к функции . Значит, на основании признака Вейерштрасса [24, с.444] равномерной сходимости, заключаем, что ряд сходится абсолютно и равномерно , т.е. .

Далее,т.к.

(24)

а

(25)

то

Поэтому, аналогично предыдущему, можно показать, что ряд, полученный из (8) взятием почленно производной по порядка , сходится абсолютно и равномерно .

Кроме того, очевидно, ряд (8) можно почленно интегрировать с весом ( – ограниченная непрерывная функция); в результате чего ряд построенный таким образом будет сходится абсолютно и равномерно .

Замечание 2. Следует отметить, что свойства функции из (8) полностью определяет функция

Можно непосредственно проверить, что функция определяемая рядом (8), удовлетворяет уравнению (16) и начальному условию (18).

Покажем теперь, что сумма ряда (13) является регулярным решением задачи (1)-(4), т.е.

,

удовлетворяет уравнению (1) и условиям (2)-(4).

Лемма. Пусть при - ограниченная непрерывная функция. Тогда ряд (13), а также ряд, полученный из (13) двукратным почленным дифференцированием по , и ряд, полученный из (13) взятием почленно производной по порядка , сходятся абсолютно и равномерно в .

Доказательство. Согласно замечания 2, свойства функции определяются свойствами функции из (10).

Поэтому для доказательства утверждения леммы достаточно рассмотреть ряд

(26)

где определяются соответственно равенствами (14), (10).

Построим ряды, мажорирующие ряд (26) и

(27)

(28)

Исходя из леммы М.М.Джрбащяна [18, с.133-134], в случае при и для функции Миттаг-Леффлёра (12) имеем асимптотическую формулу

Т.к. , то и Поэтому, существует такое, что выполняется неравенство

(29)

На основании (29) и имеем

(30)

Значит, в силу (30), ряд

(31)

является мажорантным для ряда (26). На основании признака Вейерштрасса [24, c.444] равномерной сходимости, в силу (31), заключаем, что ряд (26) сходится абсолютно и равномерно в .

Далее, из (27) и (30) следует, что ряд

(32)

является мажорантным для ряда (27). Отсюда следует, на основании (32), абсолютная и равномерная сходимость ряда (27) в .

Т.к. для справедливо равенство , то ряд (28) преобразуется к ряду (27). Следовательно, ряд (28) сходится абсолютно и равномерно в .

Лемма доказана.

Условия, налагаемые на функцию , гарантируют её разложимость на отрезке в ряд Фурье по синусам, сходящийся в каждой точке к , а его коэффициенты , определяемые равенством (14), стремятся к нулю при [24, c.621].

Согласно лемме, ряд в правой части формулы (13), а также ряды, полученные почленным дифференцированием по дважды и взятием дробной производной порядка по , сходятся абсолютно и равномерно.

Поэтому,

. (33)

На основании (24)-(25), в силу (8) и замечания 1, имеем

. (34)

Значит,

. (35)

Потому, в силу (33)-(35),

.

Последнее означает, что сумма (13) является решением уравнения (1).

Начальное условие (2) выполняется, т.к., в силу (8), (18) и поэтому

,

поскольку -коэффициенты Фурье (14).

Учитывая в (13) выражение (14), получим представление решения задачи (1)-(4) в форме (6)-(7).

Поиск по сайту: