Теорема (правила дифференцирования функций)

Пусть функции , в точке имеют конечные производные , . Тогда функции , , точке имеют конечные производные, которые вычисляются по формулам

, (4.1)

, (4.2)

(). (4.3)

Доказательство. Ограничимся доказательством формул (4.1) и (4.3). По условию теоремы имеем производные

, причем ,

, причем .

Для функции составим приращение:

.

Перегруппируем слагаемые:

.

Тогда производная функции равна

.

Для разности формула доказывается аналогично.

Для функции приращение имеет вид:

.

Воспользовавшись равенствами ,

, получим:

.

Тогда производная функции равна

.

Заметим, что если какая-то из функций является постоянной, то правила дифференцирования значительно упрощаются.

Следствие. Константу можно выносить за знак производной:

(), (4.4)

(). (4.5)

Формулу (4.1) можно обобщить на большее количество функций.

Следствие 1. Если функции в точке имеют конечные производные, то

. (4.6)

Формула (4.2) на случай трех функций примет вид.

Следствие 2. Если функции в точке имеют конечные производные, то

(4.7)

Поиск по сайту: