Производные высших порядков. Пусть – производная для функции

Пусть – производная для функции . Составим для функции приращение .

Определение. Если существует предел отношения приращения функции () к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то этот предел называется второй производной функции в точке и обозначается

. (13.1)

Функция называется производной первого порядка функции , функция называется производной второго порядка функции :

.

Аналогично можно определить производную третьего порядка

.

И вообще, производная -го порядка определяется в виде

.

Для вычисления производных высших порядков не обязательно пользоваться формулой (13.1). Достаточно применять правила дифференцирования.

Пример 1. Найти первую, вторую, третью, четвертую производные для функции

.

Решение. Вычисляем первую производную (применяем правило дифференцирования частного двух функций):

.

Вычисляем вторую производную (используем правило дифференцирования сложной степенной функции)

.

Вычисляем третью производную

.

Вычисляем четвертую производную

.

Пример 2. Найти общий вид производной -го порядка функции . Пользуясь полученной формулой, найти значение .

Решение. Находим производные от функции :

, , , …,

.

Итак, общий вид производной -го порядка функции :

.

Пользуясь полученной формулой, находим значение

.

Поиск по сайту: