Понятие дифференциала функции одной переменной

Пусть – функция, заданная на области определения . Составим приращение этой функции ():

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение этой функции можно представить в виде

, (11.1)

где не зависит от приращения ; – бесконечно-малая функция при (), причем .

При этом выражение называется дифференциалом функции в точке и обозначается

.

Пример. Показать, что функция является дифференцируемой в произвольной точке и найти ее дифференциал .

Решение. Находим приращение функции

Преобразуем полученное приращение к виду (11.1), выделив выражение (не зависящее от ) и функцию :

Выражение

не зависит от приращения (зависит от переменной ).

Функция

является бесконечно-малой функцией при , причем

.

Таким образом, все условия определения дифференцируемой функции выполняются. При этом дифференциал функции имеет вид

.

Поиск по сайту: