Производной функции одной переменной

ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«Математический анализ»

для направления 080100 «Экономика»

Рязань 2012

Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Лекция 1

Задача о касательной к графику, приводящая к понятию

производной функции одной переменной

Рассмотрим следующую задачу. Требуется написать уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку , где (см. рис. 1).

На графике функции произвольно выберем точку . Получим отрезок – секущая к кривой (на рис. 1 она изображена зеленым цветом). Пусть точка , перемещаясь по кривой, приближается к точке . Если секущая стремится занять предельное положение , то прямая

Рис. 1

называется касательной к графику функции , проходящей через точку (касательная изображена на рис. 1 красным цветом).

Известно, что уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку , имеет вид

, (1.1)

где – угловой коэффициент прямой, – угол наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс .

Из имеем .

Если точка перемещаясь по графику, приближается к точке (), то . При этом , , следовательно,

.

Итак, угловой коэффициент касательной к графику функции , проходящей через точку , вычисляется по формуле

. (1.2)

Вывод. Уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку (), имеет вид (1.1), где угловой коэффициент вычисляется по формуле (1.2).

Пример. Написать уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку с абсциссой .

Решение. Сначала по формуле (1.2) находим угловой коэффициент касательной. Вычисляем предварительно значение :

.

Вычисляем угловой коэффициент :

Тогда уравнение касательной к графику функции имеет вид (применяем формулу (1.1)):

.

Поиск по сайту: