Значений функций. Задача линеаризации функции

Рассмотрим применение дифференциала. Пусть функция является дифференцируемой на интервале , содержащем точку . Тогда при приращение функции можно представить в виде

.

Так как – бесконечно-малая функция при , то этой функцией можно пренебречь:

().

Обозначая , имеем , или

. (12.1)

Определение. Формула (12.1) называется формулой линеаризации функции в окрестности точки (разность мала).

Согласно формуле (12.1), исходную дифференцируемую функцию вблизи точки можно приближенно заменить линейной функцией

.

Другими словами, вблизи точки график функции можно приближенно заменить на касательную, проведенную через точку графика функции с абсциссой .

Формулу (12.1) также можно переписать в виде

. (12.2)

Рассмотрим два типичных примера на применение дифференциала.

Пример 1. Вычислить приближенно значение выражения .

Решение. Зададим функцию , положим , . Тогда пользуясь формулой (12.2), получим

.

Пример 2. Линеаризовать функцию

в окрестности точки . Пользуясь полученной формулой, вычислить значение функции в точке .

Решение. Исходная функция является дифференцируемой в произвольной точке , ее производная

.

Вычисляем далее

,

.

Применяя формулу (12.1), получаем

.

Тогда

.

Вычисляя значение при помощи калькулятора, получим

.

Сравнивая полученные результаты, видим, что они совпадают с точностью до десятых долей.

Поиск по сайту: