Лекция 4. Производная сложной функции (основная теорема)

Производная сложной функции (основная теорема).

Таблица производных сложных функций

Пусть даны функции , . Рассмотрим сложную функцию

. (6.1)

Теорема (производная сложной функции). Пусть функция имеет в точке конечную производную , функция имеет в точке конечную производную , причем . Тогда сложная функция (6.1) имеет в точке конечную производную, которая вычисляется по формуле

. (6.2)

На практике формула (1.2) при дифференцировании сложной функции переписывается следующим образом

. (6.3)

Формула (6.3) называется правилом дифференцирования сложной функции, состоящей из двух звеньев. Чтобы найти производную сложной функции необходимо найти производную от внешней функции по переменной и умножить на производную от внутренней функции по независимой переменной . Если производную находим по независимой переменной , то вместо пишем или просто .

Пример 1. Найти для функции

производную .

Решение. В нашем случае

, .

Производная от внешней функции по переменной равна

,

производная от внутренней функции по переменной равна

.

Тогда применяя формулу (6.3), получим

.

Пример 2. Найти для функции

производную .

Решение. Имеем

, .

Производная от внешней функции по переменной равна

,

производная от внутренней функции по переменной равна

.

Применяя формулу (6.3) дифференцирования сложной функции, получим

.

Пример 3. Найти для функции

производную .

Решение. В нашем случае

, .

Производная от внешней функции по переменной равна

,

производная от внутренней функции по переменной равна

.

Тогда применяя формулу (6.3) дифференцирования сложной функции, получим

Таблица производных сложных функций

В соответствии с таблицей производных и теоремой о дифференцировании сложной функции можно составить таблицу дифференцирования сложной функции вида

,

где функция – основная элементарная функция, .

Таблица дифференцирования сложных функций

	()
			(, , )

Покажем на примерах принцип применения таблицы.

Пример 4. Найти для функции производную .

Решение. В нашем случае применяем формулу 7 из таблицы, в которой

, .

Имеем

.

Пример 5. Найти для функции производную .

Решение. Имеем

, .

Применяя формулу 1 из таблицы, получим

Пример 6. Найти для функции

производную .

Решение. Применим формулу дифференцирования произведения двух функций. Получим

.

Функция является сложной, ее производная вычисляется по формуле 2 из таблицы:

.

В результате производная примет вид

.

Поиск по сайту: