 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Правила дифференцирования. Теорема 2.Если существуют производные функций и в точке , то в этой точке существует производная суммы
Теорема 2. Если существуют производные функций 
и 
в точке 
, то в этой точке существует производная суммы 
, причём
. (2)
Доказательство. Задав приращение 
аргументу х в точке , получим приращения 
, 
и 
функций 
и 
в этой точке, причем 
.
Тогда 
. По свойству предела суммы двух функций имеем
,
т.е. , что и требовалось доказать.
Пример. Найти производные функций:
а) 
; б) 
.
Решение. а) 
;
б) 
.
Теорема 3. Если существуют производные функций и в точке , то в этой точке существует производная произведения 
, причем
.
Доказательство. Задав приращение аргументу х в точке , получим приращения , и функций и 
в этой точке, причем 
.
Составим отношение
. (3)
В силу необходимого условия существования производной функции 
(см. теорему 1) имеем 
при 
. Кроме того, по условию, предел 
существует и конечен. Переходя к пределу в равенстве (3.3), получим
.
Следовательно, 
, что и требовалось доказать.
Замечание. Если 
, то 
, т.е. постоянный множитель можно вынести за знак производной.
Пример. Продифференцировать функцию 
.
Решение. По теореме 3: 
.
Теорема 4. Если существуют производные функций и в точке и 
, то в этой точке существует производная частного 
, причем
(4)
Доказательство. Задав приращение аргументу х в точке , получим приращения и функций 
и 
в этой точке. Соответствующее приращение функции y запишется в виде
.
Имеем 
. Отсюда, переходя к пределу при , найдем
.
По теореме 1 
при 
. Учитывая это, из последнего равенства получим окончательную формулу (4) для производной частного функций и . Теорема доказана.
Пример. Найти производные функций 
, 
.
Решение. Используя теорему 4 и формулы 5 и 9 табл. 1, получим
.
Используя теоремы 2, 3 и 4 и формулы 5, 7, 8табл. 1, получим
= 
.
Замечание. Из табл. 1 и правил дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции следует важной вывод: производная любой элементарной функции также представляет собой элементарную функцию. Таким образом, операция дифференцирования не выводит функции из класса элементарных.
Поиск по сайту: