Определение производной

Методические указания к проведению лекционного занятия

Тема № 3.1. Производная функции

План:

1. Определение производной

2. Производные основных элементарных функций

3. Правила дифференцирования

4. Геометрический и механический смыслы производной

5. Уравнения касательной и нормали к графику функции

6. Производная сложной функции

7. Логарифмическая производная

8. Производная обратной функции

9. Производная функции, заданной в параметрическом виде

10. Производная неявной функции

Определение производной

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Производной функции в точке называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если предел существует и конечен, т.е.

, (1)

где .

Иногда производную обозначают не только штрихом, но и указывают в виде нижнего индекса переменную, по которой берется производная, т.е. пишут .

Операция вычисления производной функции называется дифференцированием функции.

Пример. Используя определение, найти производную функции в точке .

Решение. Запишем приращение функции

.

Замечание. Предел (1) в точке может не существовать или быть бесконечным. В этом случае функция не имеет производной в точке . Если предел (1) равен , или , то говорят, что функция имеет бесконечную производную в точке .

Пример. Используя определение, найти производную функции в точках: а) ; б) , если она существует.

Решение. По формуле (1):

а) . Следовательно, .

б) , т.е. в точке не существует конечной производной функции .

Пример. Показать, что функция не имеет производной в точке .

Решение. Известно, что . Найдем

Пределы справа и слева в точке существуют, конечны, но не равны между собой, поэтому предел в точке не существует. Следовательно, функция не имеет производной в этой точке (рис.1).

	Рис. 1. График функции

Замечание. Если функция определена на некотором отрезке , то под ее производной в точках и принимают соответственно предел справа или предел слева отношения

при ().

Если функция определена на некотором числовом промежутке и существует в каждой точке этого промежутка, то формула

определяет производную как функцию аргумента x (а не число!).

В дальнейшем при дифференцировании функции, если не указана точка, будем находить производную для всех допустимых значений аргумента x и записывать её в виде или .

Поиск по сайту: