АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Производные основных элементарных функций

Читайте также:
  1. I. Разбор основных вопросов темы.
  2. I. Разбор основных вопросов темы.
  3. III. Описание основных целей и задач государственной программы. Ключевые принципы и механизмы реализации.
  4. V. Описание основных ожидаемых конечных результатов государственной программы
  5. Алгоритм расчета основных параметров производства
  6. Амортизация и износ основных средств.
  7. Амортизация основных производственных фондов.
  8. Амортизация основных средств
  9. Амортизация стоимости основных средств
  10. Анализ качественного состояния основных фондов
  11. Анализ основных свойств воды теплоностиля или теплоёмкости
  12. Анализ основных экономических показателей предприятия

Производные основных элементарных функций, полученные исходя из определения (1), представлены в табл. 1.

Такие производные называются табличными, а дифференцирование функций с использованием этой таблицы называется табличным дифференцированием.

Рассмотрим вывод отдельных формул табл. 1.

 

1) Найдем производную постоянной функции y = С.

Решение. Очевидно, что R. Откуда

, т.е. . Доказали формулу 1 табл. 1 при α = 0.

2) Найдем производную показательной функции , где .

Решение. Имеем

.

Используя формулу (1) и учитывая, что при , получим .

Следовательно, . Доказали формулу 4 табл. 1.

 

3) Найдем производную логарифмической функции , где .

Решение. Имеем

.

Откуда при :

= .

Используя свойство непрерывности логарифмической функции и второй замечательный предел, получим:

.

Доказали формулу 6 табл. 1.

 

4) Найдем производную тригонометрической функции .

Решение. По определению производной (1), используя формулу для разности синусов двух углов и учитывая, что при , находим

.

Следовательно, и доказана формула 8 табл. 1.

 

5) Найдем производную функции .

Решение. Введём обозначения, полагая

.

Тогда . Учитывая, что при , находим

.

Используя формулу тригонометрии для разности косинусов двух углов , эквивалентность при и непрерывность функции при всех R, имеем

Следовательно, , доказана формула 13 табл. 1.

Таблица 1. Таблица производных

№ Функция Производная
  R
 
 
  ,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Замечание. Формулы 2 и 3 являются частными случаями формулы 1 при и соответственно. Формула 5 является частным случаем формулы 4 при а = е. Формула 7 является частным случаем формулы 6 при а = е.

Пример. Продифференцировать функции и .

Решение. Применяя формулу 1 табл. 1 при для функции y 1 и формулу 6 при для функции y 2 соответственно, найдём

 

Теорема 1. (Необходимое условие существования производной). Если функция имеет производную в точке х, то она непрерывна в этой точке.

 

Замечание. Утверждение, обратное теореме 1, неверно, т.е. из непрерывности функции в точке х не следует существования производной в этой точке. Так, функция , непрерывная в точке х = 0, не имеет производной в этой точке.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)